Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(x^2-y^2\right)^2=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x;y>0\\x+y< 1\end{matrix}\right.\)=> dccm sai = > người ra đề sai họăc người chép đề sai ;
Text
\(VT=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
\(\frac{x^5}{y^4}+\frac{x^5}{y^4}+y+y+y\ge5\sqrt[5]{\frac{x^{10}y^3}{y^8}}=\frac{5x^2}{y}\)
Tương tự: \(\frac{2y^5}{z^4}+3z\ge\frac{5y^2}{z}\) ; \(\frac{2z^5}{x^4}+3x\ge\frac{5z^2}{x}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{x^5}{y^4}+\frac{y^5}{z^4}+\frac{z^5}{x^4}\right)+3\left(x+y+z\right)\ge5\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\ge5\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{x^5}{y^4}+\frac{y^5}{z^4}+\frac{z^5}{x^4}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{x^5}{y^4}+\frac{y^5}{z^4}+\frac{z^5}{x^4}\ge1\)
Dấu "=" xay ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Lời giải:
Ta thấy \(x^3+y^3+z^3\leq 9\)
\(\Leftrightarrow (x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)\leq 9\)
\(\Leftrightarrow 27-3[(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz]\leq 9\)
\(\Leftrightarrow 3(xy+yz+xz)-xyz\geq 6(\star)\)
Vì \(x,y,z\in [0;2]\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow xyz+4\leq 2(xy+yz+xz)\)
Mặt khác \(xyz\geq 0\rightarrow 2(xy+yz+xz)\geq 4\rightarrow xy+yz+xz\geq 2\)
Do đó \(3(xy+yz+xz)-xyz\geq 2+4+xyz-xyz=6\)
Từ đó BĐT \((\star)\) hay ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \((x,y,z)=(2,1,0)\) và các hoán vị.