Câu hỏi của Nguyễn Tường Vy

Question

Chứng minh rằng $x^4+y^4+z^4>=x^3+y^3+z^3$ với x+y+z=3

Trần Phúc Khang · Accepted Answer

Ta có $x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2=x+y+z\left(1\right)$

Áp dụng bất đẳng thức buniacoxki ta có

$\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2$

Kết hợp với (1)=> $x^3+y^3+z^3\ge x^2+y^2+z^2\left(2\right)$

$\left(x^4+y^4+z^4\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2$

Kết hợp với (2)=> $x^4+y^4+z^4\ge x^3+y^3+z^3$(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Câu trả lời:

Ta có $x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2=x+y+z\left(1\right)$

Áp dụng bất đẳng thức buniacoxki ta có

$\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2$

Kết hợp với (1)=> $x^3+y^3+z^3\ge x^2+y^2+z^2\left(2\right)$

$\left(x^4+y^4+z^4\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2$

Kết hợp với (2)=> $x^4+y^4+z^4\ge x^3+y^3+z^3$(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1