CT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2020
Đặt \(f\left(x\right)=x^2y^4-4xy^3+2x^2y^2+4y^2+4xy+x^2\)
\(f\left(x\right)=\left(y^4+2y^2+1\right)x^2-4\left(y^3-y\right)x+4y^2\)
\(a=y^4+2y^2+1>0;\forall y\)
\(\Delta'=4\left(y^3-y\right)^2-4y^2\left(y^4+2y^2+1\right)\)
\(=4y^6+4y^2-8y^4-4y^6-8y^4-4y^2=-16y^4\le0;\forall y\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0\) ; \(\forall x;y\)
BT
6 tháng 12 2017
\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=4\\x+my=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx=y+4\\my=-2-x\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mxy=y^2+4y\left(y\ne0\right)\\mxy=-2x-x^2\left(x\ne0\right)\end{matrix}\right.\).
Suy ra \(y^2+4y=-2x-x^2\Leftrightarrow x^2+y^2+4y+2x=0\).
DD
1
27 tháng 1 2018
\(3x^2+5y^2-2x-2xy+1\)
\(=\left(x^2-2x+1\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+x^2+4y^2\)
\(=\left(x-1\right)^2+\left(x-y\right)^2+x^2+4y^2\ge0\forall x:y\)
Do dấu bằng không xảy ra \(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(x-y\right)^2+x^2+4y^2>0\forall x:y\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 4 2019
Bài 1:
Gọi $I$ là tâm đường tròn. Vì $I$ nằm trên đt \(\Delta: 3x-y+7=0\) nên $I$ có tọa độ $(a,3a+7)$
Đường tròn tiếp xúc với trục Ox nên:
\(d(I,Ox)=R=1\Leftrightarrow |3a+7|=1\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=-2\\ a=\frac{-8}{3}\end{matrix}\right.\)
Nếu \(a=-2\Rightarrow I(-2, 1)\). PTĐTr là:
\((x+2)^2+(y-1)^2=1\)
Nếu \(a=-\frac{8}{3}\Rightarrow I(\frac{-8}{3}, -1)\). PTĐTr là:
\((x+\frac{8}{3})^2+(y+1)^2=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 4 2019
Bài 2:
Ta viết lại pt đường tròn:
\(x^2+y^2-2x-4y-4=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2-9=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=9\)
Vậy đường tròn $(C)$ có tâm $I(1,2)$ và bán kính $R=3$
Có : \(d(I,(d))=\frac{|3x_I+4y_I+4|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3.1+4.2+4|}{5}=3=R_{(C)}\)
Do đó đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn $(C)$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2020
Đúng như bạn viết vế trái là thế này:
\(\left(\frac{tan^2x}{1+tan^2x}\right)\left(\frac{1+cot^2x}{cotx}\right)=\left(\frac{1}{\frac{1}{tan^2x}+1}\right)\left(\frac{1+cot^2x}{cotx}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{cot^2x+1}\right)\left(\frac{1+cot^2x}{cotx}\right)=\frac{1}{cotx}=tanx\)
Còn vế phải sẽ ra thế này:
\(\frac{1+tan^4x}{tan^2x+cot^2x}=\frac{1+tan^4x}{tan^2x+\frac{1}{tan^2x}}=\frac{tan^2x\left(1+tan^4x\right)}{tan^4x+1}=tan^2x\)
Hai vế ra kết quả khác nhau nên chắc bạn ghi sai đề :)
14 tháng 2 2018
ta có : \(x^2+y^2+z^2+x^2y^2z^2-4xyz+y^2z^2-2yz+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xyz+y^2z^2\right)+\left(x^2y^2z^2-2xyz+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-z\right)^2+\left(x-yz\right)^2+\left(xyz-1\right)^2\ge0\) (đúng \(\forall x;y;z\))
\(\Rightarrow\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2020
Bài 1:
Ta có:
\(x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{4}(x^2-2xy+y^2)\)
\(=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq \frac{\sqrt{3}(y+z)}{2}; \sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \frac{\sqrt{3}(x+z)}{2}\)
Cộng theo vế các BĐT trên:
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2020
Bài 2:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$4(a^9+b^9)-(a+b)(a^3+b^3)(a^5+b^5)\geq 0$
$\Leftrightarrow 4(a+b)(a^8-a^7b+a^6b^2-a^5b^3+a^4b^4-a^3b^5+a^2b^6-ab^7+b^8)-(a+b)(a^8+a^3b^5+a^5b^3+b^8)\geq 0$
$\Leftrightarrow 4(a^8-a^7b+a^6b^2-a^5b^3+a^4b^4-a^3b^5+a^2b^6-ab^7+b^8)-(a^8+a^3b^5+a^5b^3+b^8)\geq 0$
$\Leftrightarrow 3a^8+3b^8+4a^6b^2+4a^2b^6+4a^4b^4-(4a^7b+4ab^7+5a^5b^3+5a^3b^5)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2-ab+b^2)(3a^4+5a^3b+7a^2b^2+5ab^3+3b^4)\geq 0$
BĐT trên luôn đúng vì:
$(a-b)^2\geq 0, \forall a,b$
$a^2-ab+b^2=(a-\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2\geq 0, \forall a,b$
$3a^4+5a^3b+7a^2b^2+5ab^3+3b^4=3(a^4+b^4+2a^2b^2)+a^2b^2+5ab(a^2+b^2)$
$=3(a^2+b^2)^2+5ab(a^2+b^2)+a^2b^2$
$=(a^2+b^2)(3a^2+3b^2+5ab)+a^2b^2=(a^2+b^2)[3(a+\frac{5}{6}b)^2+\frac{11}{12}b^2]+a^2b^2\geq 0$ với mọi $a,b$
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ hoặc $a+b=0$
Đặt \(f\left(x\right)=25x^2+25y^2+9x^2+16y^2+144-72x-96y+24xy-72\)
\(=34x^2+41y^2-72x-96y+24xy+72\)
\(=34x^2+2\left(12y-36\right)x+41y^2-96y+72\)
\(a=34>0\)
\(\Delta'=\left(12y-36\right)^2-34\left(41y^2-96y+72\right)\)
\(=-1250y^2+2400y-1152=-2\left(25y-24\right)^2\le0;\forall y\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0;\forall x;y\)