Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dễ thấy:
\(VT\ge\left(x+y\right)^2+1-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\)
Áp dụng Cô-si:
\(\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}.1}=\sqrt{3}\left|x+y\right|\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Do đó:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right),\forall x,y\in R\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho các bộ bốn số không âm, ta được: \(LHS=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(=\frac{x^2+x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{y^2+y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{z^2+z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)
Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{zx}}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)
Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{zx}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Khi đó \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)
và ta cần chứng minh \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge1\)
Xét BĐT phụ: \(\frac{x}{x^2\left(4-x^2\right)}\ge-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}\left(0< x\le1\right)\)(*)
Ta có: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^2-2x-9\right)}{9x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\ge0\)(Đúng với mọi \(x\in(0;1]\))
Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{4}{9}.3\)
\(\ge-\frac{1}{9}.3+\frac{4}{3}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
1. Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có 2a2+b2+c2\(\ge\)2a(b+c)
Chứng minh:
Ta có 2a2+b2+c2=(a2+b2)+(a2+c2)
Áp dụng bđt cauchy ta có
(a2+b2)+(a2+c2)\(\ge\)2ab+2ac=2a(b+c)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+\sqrt{xy}=\frac{x^3+y^3}{2xy}+\frac{x^3+y^3}{2xy}+\sqrt{xy}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x^3+y^3)^2}{4xy\sqrt{xy}}}\)
Bằng BĐT AM-GM, dễ thấy:
\(x^3+y^3\geq \frac{1}{2}(x+y)(x^2+y^2)\geq \sqrt{xy}(x^2+y^2)\)
\(\Rightarrow (x^3+y^3)^2\geq xy(x^2+y^2)^2=xy\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{(x^2+y^2)^3}\geq xy\sqrt{2xy}\sqrt{(x^2+y^2)^3}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+\sqrt{xy}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}{4}}=3\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
bđt <=> x4 + y4 - x3y - xy3 ≥ 0
<=> x(x3 - y3) - y(x3- y3) ≥ 0
<=> x(x - y)(x2 + xy + y2) - y(x - y)(x2 + xy + y2) ≥ 0
<=> (x - y)2(x2 + xy + y2) ≥ 0 (1)
Ta có: (x - y)2 ≥ 0 ∀x, y
x2 + xy + y2 = (x + \(\dfrac{1}{2}\)y)2 + \(\dfrac{3}{4}\)y2 ≥ 0 ∀ x, y
=> (1) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
theo bđt cauchy schwars ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^4+y^4\ge2x^2y^2\\x^4+x^2y^2\ge2x^3y\\y^4+x^2y^2\ge2xy^3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^4+y^4\right)+2x^2y^2\ge2\left(xy^3+x^3y\right)+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4\ge xy^3+x^3y\)
vậy đpcm
\(\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}}=\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{3}+\frac{y^2}{1}}\)
\(\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{2+2}}+\sqrt{\frac{\left(x+y+y\right)^2}{3+1}}=\frac{x+2y}{2}+\frac{x+2y}{2}=x+2y\)