Câu hỏi của Quách Trần Gia Lạc

Question

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: $5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}⋮59$.

Mysterious Person · Accepted Answer

nếu $n=0$ thì ta thấy bài toán đúng

giả sử $n=k$ thì ta có : $5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1}⋮59$

khi đó nếu $n=k+1$ thì ta có :

$5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}=5^{k+3}+26.5^{k+1}+8^{2k+3}$

$=5.5^{k+2}+5.26.5^k+8^2.8^{2k+1}=5.5^{k+2}+5.26.5^k+5.8^{2k+1}+59.8^{2k+1}$

$=5\left(5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1}\right)+59.8^{2k+1}⋮59$

$\Rightarrow\left(đpcm\right)$Câu trả lời: nếu $n=0$ thì ta thấy bài toán đúng

giả sử $n=k$ thì ta có : $5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1}⋮59$

khi đó nếu $n=k+1$ thì ta có :

$5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}=5^{k+3}+26.5^{k+1}+8^{2k+3}$

$=5.5^{k+2}+5.26.5^k+8^2.8^{2k+1}=5.5^{k+2}+5.26.5^k+5.8^{2k+1}+59.8^{2k+1}$

$=5\left(5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1}\right)+59.8^{2k+1}⋮59$

$\Rightarrow\left(đpcm\right)$