Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=\frac{1^2}{1}=1\)
2) \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
=> \(P\ge2018.1+\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=2018\frac{1}{9}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1/3
Vậy GTNN của P = \(2018\frac{1}{9}\) tại a = b = c = 1/3
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Lại có: \(a^2+1+b^2+1+c^2+1\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)=12\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Ta có: \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)=\left(n+1\right)n\left(n+2\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)( tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3)
\(n\left(n+1\right)⋮2\)(ích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2)
Mà (2;3)=1
=> \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)
=>\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)⋮6\)
Câu b em kiểm tra lại đề bài.
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2b+5\ge2ab+4a\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2+2b+1+a^2-4a+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b+1\right)^2+\left(a-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" ko xảy ra nên BĐT đã cho sai, BĐT đúng chỉ là ">", ko có "\(\ge\)"
Đặt \(a^2=p\left(p\ge0\right)\), khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương \(p^3+1\ge p\left(p+1\right)\) \(\Leftrightarrow p^3+1-\left(p+1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow p\left(p+1\right)^2\ge0\) (luôn đúng do \(p\ge0\))
Như vậy ta có đpcm.
Mình sửa lại chút nhé
\(p^3+1-p\left(p+1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\ge0\) (luôn đúng)