Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi A là vế trái của bất đăng thức trên . ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức dưới dạng phương pháp làm trội , để chứng minh A< b , ta làm trội A thành C ( A<C ) rồi chứng minh C>= B ( biểu thức C đóng vai trò là biểu thức trung gian để so sánh A và B)
làm trội mỗi phân số ở A bằng cách làm giảm các mẫu , ta có
\(\frac{1}{k^3}\)< \(\frac{1}{k^3-k}\)= \(\frac{1}{k\left(k^2-1\right)}\)= \(\frac{1}{\left(k-1\right)k\left(k+1\right)}\)
do đó
A < \(\frac{1}{2^3-2}\)+ \(\frac{1}{3^3-3}\)+.....+\(\frac{1}{n^3-n}\)= \(\frac{1}{1.2.3}\)+ \(\frac{1}{2.3.4}\)+ .....+ \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
đặt C = \(\frac{1}{1.2.3}\)+ \(\frac{1}{2.3.4}\)+.....+\(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\), nhận xét rằng
\(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)- \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)= \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
nên C = \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{1}{1.2}\)- \(\frac{1}{2.3}\)-......- \(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)-\(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)]
= \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)]
= \(\frac{1}{4}\)- \(\frac{1}{2n\left(n+1\right)}\)< \(\frac{1}{4}\)
vậy ta có điều phải chứng minh
\(\frac{2}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{xy+x+1}\)
\(\Leftrightarrow x^2+2y^2+3\ge2xy+2y+2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)
Ta có : \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{a^2+b^2+b^2+1+2}\le\frac{1}{2ab+2b+2}\) ( AD BĐT Cô si cho a ; b dương ) ( 1 )
Tương tự : \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2bc+2c+2};\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2ac+2a+2}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) \(\Rightarrow P\le\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ac+2a+2}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)\left(abc=1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Lời giải:
Xét số hạng tổng quát \(\frac{1}{n^3}\)
\((n-1)(n+1)=n^2-1< n^2\)
\(\Rightarrow (n-1)n(n+1)< n^3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(n-1)n(n+1)}>\frac{1}{n^3}\)
Thay $n=2,3,4,.....$. Khi đó ta có:
\(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}<\underbrace{ \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+....+\frac{1}{(n-1)n(n+1)}}_{A}(*)\)
Mà:
\(2A=\frac{3-1}{1.2.3}+\frac{4-2}{2.3.4}+....+\frac{(n+1)-(n-1)}{(n-1)n(n+1)}\)
\(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{n(n+1)}< \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}(**)\)
Từ \((*) ;(**)\Rightarrow \frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}< \frac{1}{4}\)
Ta có đpcm.
\(\frac{1}{3^3}< \frac{1}{2.3.4}\) \(\frac{1}{4^3}< \frac{1}{3.4.5}\) \(\frac{1}{5^3}< \frac{1}{4.5.6}\) ..... \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+\frac{1}{4.5.6}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+\frac{2}{4.5.6}+...+\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\right)\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{4-2}{2.3.4}+\frac{5-3}{3.4.5}+\frac{6-4}{4.5.6}+...+\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\right)\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+\frac{1}{4.5}-\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)=\frac{1}{12}-\frac{1}{2n\left(n+1\right)}< \frac{1}{12}\)
Ta có \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{n\left(n^2-1\right)}=\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{n^3}< \frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(\Rightarrow P< \frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(\Rightarrow P< 1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2.3}=1+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{29}{24}< \frac{65}{54}\)