Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=\left(-2ab\right)^2-2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(đpcm\right)\)
a) a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2ac + 2bc
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
=> (a2 - 2ab + b2) + (a2 - 2ac + c2) + (b2 - 2bc + c2) = 0
=> (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 = 0
Do 3 hạng tử trên đều có giá trị lớn hơn hoặc bằng 0 nên a - b = a - c = b - c = 0
=> a = b = c
b) a3 + b3 + c3 = 3abc
=> a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
=> a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3abc - 3a2b - 3ab2 = 0
=> (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c) = 0
=> (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - bc - ac + c2) - 3ab(a + b + c) = 0
=> (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) = 0
=> a + b + c = 0
hoặc a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac => a = b = c
a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
b) \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
+) vế 1 bđt \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)( CMTT câu a )
+) vế 2 bđt \(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)( CMTT câu a )
Từ đây ta có đpcm
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
c) \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)
\(Ta\)\(có\):\(\)
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)\(Mà\)\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)\)\(=1+2\left(ab+ac+bc\right)=0\Rightarrow2\left(ab+ac+bc\right)=-1\)\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2\left(ab+bc+ac\right)\)
Xl nha dòng cuối mik ghi nhầm
Phài là \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(ab+bc+ac\right)\right]\)\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)^2\)