Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn có thể kiểm tra lại đề o , sai đề rồi
mình tìm thấy 1 số giá trị như x=0,x=13 là snt nha bạn
Ta có: 16n-1=(17-1)n-1=BS17+1-1 (vì n chẵn)=BS17\(⋮\)17 => Đpcm
Ta có: 16n-1=(17-1)n-1=BS17+1-1 (vì n chẵn)=BS17\(⋮\)17 => Đpcm
Giả sử ngược lại \(2^n-1\) là 1 số chính phương lẻ
Khi đó \(2^n-1=\left(2k+1\right)^2\) \(\left(k\inℕ^∗\right)\)
\(\Leftrightarrow2^n-1=4k^2+4k+1\)
\(\Leftrightarrow2^n=4k^2+4k+2\)
Nhận thấy VP chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4
Mà n>1 nên 2n chia hết cho 4
=> vô lý => điều g/s sai
=> 2n - 1 không là 1 SCP
Lần sau không tag là không giải nha:)
2)Chú ý: \(\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\Rightarrow abc\le\frac{ab+bc+ca}{3}\) (thay giả thiết vào thôi)
Và BĐT: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\) (đúng)
Như vậy: \(P\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{3}{ab+bc+ca}\)
\(=\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\right)+\frac{2}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{6}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{15}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{5}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
1)Chú ý đẳng thức: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-a-b-c\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}\)
Vậy ta quy bài toán về chứng minh:
\(\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}\ge\frac{4}{\left(a+b+c\right)}\left(max\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right)\)
*Với trường hợp \(\left(a-b\right)^2=max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}\). Ta cần chứng minh:
\(\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}\ge\frac{4\left(a-b\right)^2}{\left(a+b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b+c}\right)\left(a-b\right)^2+\left[\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}\right]\ge0\)
Áp dụng BĐT Svacxo:
\(VT\ge\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b+c}\right)\left(a-b\right)^2+\frac{\left(b-c+c-a\right)^2}{c+a}\)
\(=\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c+a}-\frac{4}{a+b+c}\right)\left(a-b\right)^2\)\(=\frac{\left(a+c-b\right)^2\left(a-b\right)^2}{b\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)}\ge0\)
Vậy BĐT đúng với trường hợp \(\left(a-b\right)^2=max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}\)
Hai trường hợp còn lại:
+)\(\left(b-c\right)^2=max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}\)
+)\(\left(c-a\right)^2=max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}\)
Cách chứng minh tương tự, xin không trình bày ở đây vì rất dài.
P/s: Riêng bài này tui hok chắc. @Akai Haruma check giúp em với ạ!
Bài 2:
\(A=xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+12x^2-24x+3y^2+18y+36\)
\(A=12x\left(x-2\right)+xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+3y\left(y+6\right)+36\)
Đặt \(x\left(x-2\right)=a;y\left(y+6\right)=b\)
\(A=12a+ab+3b+36\)
\(A=a\left(b+12\right)+3\left(b+12\right)\)
\(A=\left(b+12\right)\left(a+3\right)\)
\(A=\left(x^2-2x+3\right)\left(y^2+6y+12\right)\)
\(A=\left[\left(x-1\right)^2+2\right]\left[\left(y+9\right)^2+3\right]>0\forall x;y\)
Bài 3:
\(3xy+x+15y-164=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(3y+1\right)+5\left(3y+1\right)-169=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3y+1\right)\left(x+5\right)=169\)
Tới đây xét ước là xong.
p/s: Còn 2 bài trưa về giải nốt em nhé.
Bài 4:*Tìm Max
Xét hiệu: \(5x^2+8xy+5y^2-A=4x^2+8xy+4y^2=4\left(x+y\right)^2\ge0\)
Từ đó \(A\le5x^2+8xy+5y^2=72\)
Đẳng thức xảy ra khi x =-y và \(5x^2+8xy+5y^2=72\)
Thay cái phía trược vào thu được (x;y) =(6;-6) và (-6 ; 6)
Vậy Max A là 72.
*Tìm min:
Xét hiệu: \(9A-\left(5x^2+8xy+5y^2\right)=4x^2-8xy+4y^2=4\left(x-y\right)^2\)
Do đó \(9A\ge5x^2+8xy+5y^2=72\Rightarrow A\ge8\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y và \(5x^2+8xy+5y^2=72\)
Thay cái phía trược vào thu được (x;y) = (2;2) ; (-2;-2)
Vậy...
P/s: Check lại cái "đẳng thức xảy ra khi..." nhé, có thể nhầm lẫn đấy.
\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)\) \(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)\(=\)\(\left(n-1\right)\times n\times\left(n+1\right)\)
Ta thấy: \(\left(n-1\right),n,\left(n+1\right)\)là 3 số tự nhiên liên tiếp
mà tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6
nên \(n^3-n⋮6\)
n3 - n = n( n2 - 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )
Vì n, ( n - 1 ), ( n + 1 ) là 3 số nguyên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3
mà 2.3 = 6 => n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 6
hay n3 - n chia hết cho 6 ( đpcm )
bạn là đội tuyển toán ak?