Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(f\left(x\right)=x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục trên R
Ta có: \(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(f\left(-1\right)=m^2+1>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0\) ;\(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\) (đpcm)
nếu bài này mà chứng minh có 3 nghiệm thì mình phải làm như thế nào ạ..?
Đặt \(f\left(x\right)=5x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\)
Hàm số liên tục trên R
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(5x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(5+\dfrac{2m-1}{x}+\dfrac{m+6}{x^3}\right)=-\infty< 0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(a< 0\) sao cho \(f\left(a\right)< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left(5+\dfrac{2m-1}{x}+\dfrac{m+6}{x^3}\right)=+\infty.5=+\infty>0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(b>0\) sao cho \(f\left(b\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b) với mọi m
Đặt \(f\left(x\right)=x^4-\left(3m-2\right)x^3+mx-1\)
Hiển nhiên \(f\left(x\right)\) liên tục và xác định trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^4-\left(3m-2\right)x^3+mx+1\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(a>0\) đủ lớn sao cho \(f\left(a\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(a\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;a\right)\) hay \(\left(0;+\infty\right)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4-\left(3m-2\right)x^3+mx-1\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(b< 0\) sao cho \(f\left(b\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right),f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)
Vậy phương trình luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m
Dễ thấy hàm \(f\left(x\right)=\left(1-m\right)x^5+9mx^2-16x-m\) liên tục trên R với mọi giá trị của m
Ta có:
\(f\left(-2\right)=\left(1-m\right).\left(-2\right)^5+9m.\left(-2\right)^2-16.\left(-2\right)-m\)
\(=-32\left(1-m\right)+4.9m+32-m=67m\)
\(f\left(0\right)=-m\)
\(f\left(2\right)=\left(1-m\right).2^5+9m.2^2-16.2-m\)
\(=32\left(1-m\right)+4.9m-32-m=3m\)
Nếu \(m=0\) thì ta có đpcm
Nếu \(m\ne0\) thì
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-2\right).f\left(0\right)=-67m^2< 0\\f\left(0\right).f\left(2\right)=-3m^2< 0\end{matrix}\right.\)
Do đó pt đã cho có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng \(\left(-2;0\right)\) và \(\left(0;2\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Sao lại phải thay -2 và 2 vô vậy