Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(u_n=1+2\left(n-1\right)=1+2n-2=2n-1\left(\text{*}\right)\)
Chứng minh
Với \(n=1\)
\(VT=1;VP=2\cdot1-1=1=VT\)
Vậy \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=1\)
Giả sử \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k\ge1\) tức là
\(u_k=u_{k-1}+2=2k-1\)
Ta chứng minh \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k+1\)
Thật vậy, từ giả thuyết quy nạp ta có
\(u_{k+1}=u_k+2=2k-1+2=2k+2-1=2\left(k+1\right)-1\)
Vậy ...
\(\Leftrightarrow2\cdot n!+6\cdot\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}-n!\cdot\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}=12\)
\(\Leftrightarrow2n!+6\cdot\left(n-1\right)\cdot n-n!\cdot\left(n-1\right)\cdot n=12\)
\(\Leftrightarrow\left(n!-6\right)\left(n^2-n-2\right)=0\)
=>n=3 hoặc n=2
Xét khai triển:
\(\left(x+1\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^n+C_n^3x^3+...+C_n^nx^n\)
Đạo hàm 2 vế:
\(n\left(x+1\right)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+...+nC_n^nx^{n-1}\)
Thay \(x=1\) vào ta được:
\(n.2^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+nC_n^2=256n\)
\(\Rightarrow2^{n-1}=256=2^8\Rightarrow n=9\)
Câu 2:
\(\left(x-2\right)^{80}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_{80}x^{80}\)
Đạo hàm 2 vế:
\(80\left(x-2\right)^{79}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+80a_{80}x^{79}\)
Thay \(x=1\) ta được:
\(80\left(1-2\right)^{79}=a_1+2a_2+3a_3+...+80a_{80}\)
\(\Rightarrow S=80.\left(-1\right)^{79}=-80\)
- Với \(n=2\Rightarrow P_2=2!=2=1!+1\) (đúng)
- Với \(n=3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P_3=3!=6\\2P_2+P_1+1=2.2!+1+1=6\end{matrix}\right.\) (đúng)
- Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\ge2\) hay:
\(P_k=\left(k-1\right)P_{k-1}+\left(k-2\right)P_{k-2}+...+P_1+1\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay
\(P_{k+1}=k.P_k+\left(k-1\right)P_{k-1}+...+P_1+1\)
Thật vậy, ta có:
\(k.P_k+\left(k-1\right)P_{k-1}+...+P_1+1=k.P_k+P_k\)
\(=\left(k+1\right)P_k=P_{k+1}\) (đpcm)