Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.
Từ đó suy ra f'(x)=0
a) f(x)=1⇒f′(x)=0f(x)=1⇒f′(x)=0 ;
b) f(x)=1⇒f′(x)=0f(x)=1⇒f′(x)=0 ;
c) f(x)=\(\frac{1}{4}\)(\(\sqrt{2}\)-\(\sqrt{6}\))=>f'(x)=0
d,f(x)=\(\frac{3}{2}\)=>f'(x)=0
Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)\)
Hàm \(f\left(x\right)\) hiển nhiên liên tục trên R
Do vai trò a;b;c như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(a< b< c\)
\(f\left(a\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
\(f\left(b\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)
\(f\left(c\right)=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
\(f\left(a\right).f\left(b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)=\left(a-b\right)^2\left(c-a\right)\left(b-c\right)\)
Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-a>0\\b-c< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b)
\(f\left(b\right).f\left(c\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)=\left(b-c\right)^2\left(a-b\right)\left(c-a\right)\)
Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b< 0\\c-a>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(b\right).f\left(c\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (b;c)
Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
Tham khảo:
Xét hàm số g(x) = f(x) − f(x + 0,5)
Ta có
g(0) = f(0) − f(0 + 0,5) = f(0) − f(0,5)
g(0,5) = f(0,5) − f(0,5 + 0,5) = f(0,5) − f(1) = f(0,5) − f(0)
(vì theo giả thiết f(0) = f(1)).
Do đó,
Bài 1:
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x+3}-2+2-\sqrt[3]{3x+5}}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}-\frac{3\left(x-1\right)}{4+2\sqrt[3]{3x+5}+\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}}}{x-1}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}-\frac{3}{4+2\sqrt[3]{3x+5}+\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}}\right)=0\)
\(f\left(1\right)=a+1\)
Để hàm số liên tục trên \([-3;+\infty)\Leftrightarrow\) hàm số liên tục tại \(x=1\)
\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=f\left(1\right)\Rightarrow a+1=0\Rightarrow a=-1\)
Bài 2:
Các hàm số đã cho đều liên tục trên R nên liên tục trên từng khoảng bất kì
a/ Xét \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(x+2\right)+2x+3\)
\(f\left(-2\right)=-1\) ; \(f\left(1\right)=5\)
\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(1\right)< 0;\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;1\right)\) với mọi m
b/ \(m\left(sin^3x-cosx\right)=0\)
Nếu \(m=0\) pt có vô số nghiệm (thỏa mãn)
Nếu \(m\ne0\Leftrightarrow f\left(x\right)=sin^3x-cosx=0\)
\(f\left(0\right)=-1\) ; \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(\frac{\pi}{2}\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\)
Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Một cách dựa vào hàm số:
Đặt \(VT=f\left(x\right)\)
- Nếu 2 trong 3 số a, b, c bằng nhau hoặc một trong 3 số bằng 0 thì pt hiển nhiên có nghiệm
- Nếu không có bất cứ cặp nào bằng nhau và đều khác 0, do tính đối xứng của \(f\left(x\right)\) , không làm mất tính tổng quát, giả sử \(a>b>c\) ta có:
\(f\left(a\right)=a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
Do \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)>0\Rightarrow f\left(a\right)\) cùng dấu với \(a\) \(\Rightarrow a.f\left(a\right)>0\) (1)
\(f\left(b\right)=b\left(b-c\right)\left(b-a\right)\)
Do \(\left(b-c\right)\left(b-a\right)< 0\Rightarrow b.f\left(b\right)< 0\) (2)
\(f\left(c\right)=c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
Do \(\left(c-a\right)\left(c-b\right)< 0\Rightarrow c.f\left(c\right)>0\) (3)
- Nếu a, c cùng dấu \(\Rightarrow a;b;c\) cùng dấu \(\Rightarrow ab>0\)
Nhân vế với vế của (1) và (2): \(a.b.f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\) \(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;b\right)\)
- Nếu \(a,\) c trái dấu \(\Rightarrow ac< 0\) nhân vế với vế của (1) và (3):
\(ac.f\left(a\right).f\left(c\right)>0\Rightarrow f\left(a\right).f\left(c\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;c\right)\)
Vậy pt đã cho luôn luôn có nghiệm
nhở a,b,c<0 s pn ! lm lại nhé