Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
12. Ta có \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
=> \(a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\)
Lại có \(\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2\)
=> \(\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}.\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Vậy \(MaxP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=1
13. Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)( BĐT cosi)
=> \(1\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)
=> \(a+b+c\ge6\)
Ta có \(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
=> \(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự \(\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\),,\(\frac{c^3-a^2}{c^2+ac+a^2}=c-a\)
Cộng 3 BT trên ta có
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+c^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{c^2+bc+b^2}+\frac{a^3}{a^2+ac+c^2}\)
Khi đó \(2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+...\)
=> \(2P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+....\)
Xét \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)
<=> \(3\left(a^2-ab+b^2\right)\ge a^2+ab+b^2\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)(luôn đúng )
=> \(2P\ge\frac{1}{3}\left(a+b+b+c+a+c\right)=\frac{2}{3}.\left(a+b+c\right)\ge4\)
=> \(P\ge2\)
Vậy \(MinP=2\)khi a=b=c=2
Lưu ý : Chỗ .... là tương tự
Cách 1
Áp dụng bđt Cauchy ta có
\(\frac{a^3}{b}+b+1\ge3a,\frac{b^3}{c}+c+1\ge3b,\frac{c^3}{a}+a+1\ge3a\)
Cộng từng vế 3 bđt trên ta có
\(A=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a+b+c\right)-3\)
Mặt khác (a+b+c)2+3(a+b+c)\(\ge\)18 (biến đổi tương đương là c/m được)
Đặt m=a+b+c
=> t2+3t-18\(\ge\)0
=> t\(\ge\)3
=> A\(\ge\)3
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Cách 2,rất phức tạp :(
\(6=a+b+c+ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)}{3}\)
Suy ra \(\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-18\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge9\).
Mà \(VT\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Ta chứng minh BĐT sau = sos cho đẹp: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^3}{b}-\frac{a^2b}{b}\right)\ge0\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a^2\left(a-b\right)}{b}-\Sigma_{cyc}a\left(a-b\right)+\Sigma_{cyc}a\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a^2\left(a-b\right)^2}{b}+\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a^2\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\frac{a^2}{b}+\frac{1}{2}\right)\ge0\) (đúng)
Do vậy: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge3^{\left(đpcm\right)}\)
Xảy ra đẳng thức khi a = b = c = 1
Ta có \(\left(x-3\right)\left(5-x\right)=-\left(x^2-8x+15\right)\)
\(=-\left(x^2-8x+16-1\right)=-\left(x-4\right)^2+1\)
Vì \(3\le x\le5\)nên \(-\left(x-4\right)^2+1\le1\)hay \(\left(x-3\right)\left(5-x\right)\le1\)
Em làm Cách 2: Sử dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}.\)Chứng minh :Biến đổi tương đương ta được \(\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Với \(3\le x\le5\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-3\ge0\\5-x\ge0\end{cases}}\)
Khi đó: \(\left(x-3\right)\left(5-x\right)\le\frac{\left(x-3+5-x\right)^2}{4}=1\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x-3=5-x\Leftrightarrow x=4\left(tmđk\right)\)
a, Để hàm số trên là hàm bậc nhất : \(3m-2\ne0\Leftrightarrow m\ne\frac{2}{3}\)
b, Để hàm số trên là hàm bậc nhất : \(\sqrt{3-m}\ne0\Leftrightarrow3-m\ne0\Leftrightarrow m\ne3\)
c, Để hàm số trên là hàm bậc nhất : \(m+2\ne0;\frac{2m-1}{m+2}\ne0\Leftrightarrow m\ne-2;m\ne\frac{1}{2}\)
d, loại vì hàm bậc 2
a, \(\Delta\)' =(m+3)\(^2\)-(m\(^2\)+6m)=m\(^2\)+6m+9-m\(^2\)-6m=9>0 với mọi m .Pt luôn có 2 no pb
b, Áp dụng hệ thức vi-ét có: x\(_1\)+x\(_2\)=-2(m+3) ; x\(_1\)x\(_2\)=m\(^2\)+6m (I)
Để (2x\(_1\)+1)(2x\(_2\)+1)=13\(\Leftrightarrow\) 4x\(_1\)x\(_2\)+2(x\(_1\)+x\(_2\))+1=13 (*)
Thay (I) vào (*) có : 4(m\(^2\)+6m)-4(m+3)+1=13\(\Leftrightarrow\)4m\(^2\)+20m-24=0\(\Leftrightarrow\)m=1; m=-6