Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a+3c +a+2b = 17
=>2a +2b +3c = 17
=>2.(a+b)+3c=17
=>a+b+3c/2=17/2
=> N= a+b-c-17/2=a+b-c-a-b -3c/2=-c-3c/2
=> N là các số không âm
a+3c=8
a+2b=9 => cần C/m 2a+2b-2c<=17
2a+3c+2b=17
a,b,c không âm=> 2b+3c>=2b-2c=> 2a+2b-2c<=17=> dpcm
đẳng thức trên xẩy ra khi c=0
N=0
c=0
a=8
b=1/2
Cho điều kiện:
\(2 \left(\right. 3 a - 2 b + c \left.\right) = a - 5 b\)
Ta cần chứng minh:
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) \leq 0\)
Bước 1: Tìm biểu thức của \(N \left(\right. x \left.\right)\)
Giả sử \(N \left(\right. x \left.\right)\) là một đa thức bậc 2 dạng:
\(N \left(\right. x \left.\right) = a x^{2} + b x + c\)
Bước 2: Viết lại điều kiện đã cho
Điều kiện:
\(2 \left(\right. 3 a - 2 b + c \left.\right) = a - 5 b\)
Mở ngoặc:
\(6 a - 4 b + 2 c = a - 5 b\)
Chuyển hết về một vế:
\(6 a - 4 b + 2 c - a + 5 b = 0\)\(5 a + b + 2 c = 0\)
Bước 3: Tính \(N \left(\right. - 1 \left.\right)\) và \(N \left(\right. 2 \left.\right)\)
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) = a \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} + b \left(\right. - 1 \left.\right) + c = a - b + c\)\(N \left(\right. 2 \left.\right) = a \left(\right. 2 \left.\right)^{2} + b \left(\right. 2 \left.\right) + c = 4 a + 2 b + c\)
Bước 4: Tính tích \(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right)\)
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) = \left(\right. a - b + c \left.\right) \left(\right. 4 a + 2 b + c \left.\right)\)
Mở rộng:
\(= a \left(\right. 4 a + 2 b + c \left.\right) - b \left(\right. 4 a + 2 b + c \left.\right) + c \left(\right. 4 a + 2 b + c \left.\right)\)\(= 4 a^{2} + 2 a b + a c - 4 a b - 2 b^{2} - b c + 4 a c + 2 b c + c^{2}\)\(= 4 a^{2} + \left(\right. 2 a b - 4 a b \left.\right) + a c + 4 a c + \left(\right. - b c + 2 b c \left.\right) - 2 b^{2} + c^{2}\)\(= 4 a^{2} - 2 a b + 5 a c + b c - 2 b^{2} + c^{2}\)
Bước 5: Sử dụng điều kiện \(5 a + b + 2 c = 0\)
Từ điều kiện, ta có thể biểu diễn \(b\) theo \(a\) và \(c\):
\(b = - 5 a - 2 c\)
Thay vào biểu thức tích:
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) = 4 a^{2} - 2 a \left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right) + 5 a c + \left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right) c - 2 \left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right)^{2} + c^{2}\)
Tính từng phần:
- \(- 2 a b = - 2 a \left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right) = 10 a^{2} + 4 a c\)
- \(b c = \left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right) c = - 5 a c - 2 c^{2}\)
- \(- 2 b^{2} = - 2 \left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right)^{2}\)
Trước tiên, tính \(\left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right)^{2}\):
\(\left(\right. - 5 a - 2 c \left.\right)^{2} = 25 a^{2} + 20 a c + 4 c^{2}\)
Nên:
\(- 2 b^{2} = - 2 \left(\right. 25 a^{2} + 20 a c + 4 c^{2} \left.\right) = - 50 a^{2} - 40 a c - 8 c^{2}\)
Bước 6: Thay vào và rút gọn
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) = 4 a^{2} + 10 a^{2} + 4 a c + 5 a c - 5 a c - 2 c^{2} - 50 a^{2} - 40 a c - 8 c^{2} + c^{2}\)
Nhóm các hạng tử cùng loại:
- \(a^{2}\): \(4 + 10 - 50 = - 36 a^{2}\)
- \(a c\): \(4 + 5 - 5 - 40 = - 36 a c\)
- \(c^{2}\): \(- 2 - 8 + 1 = - 9 c^{2}\)
Vậy:
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) = - 36 a^{2} - 36 a c - 9 c^{2} = - 9 \left(\right. 4 a^{2} + 4 a c + c^{2} \left.\right)\)
Bước 7: Xét biểu thức \(4 a^{2} + 4 a c + c^{2}\)
\(4 a^{2} + 4 a c + c^{2} = \left(\right. 2 a + c \left.\right)^{2} \geq 0\)
Vậy:
\(N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) = - 9 \left(\right. 2 a + c \left.\right)^{2} \leq 0\)
Kết luận:
\(\boxed{N \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot N \left(\right. 2 \left.\right) \leq 0}\)
với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(2 a + c = 0\).
Tham khảo
Ta có : Tổng của 3 số luôn âm khi ít nhất 1 trong 3 thừa số có giá trị âm
Ta tính tổng của 3 đa thức đó thì sẽ ra 1 đa thức có giá trị âm (tự tính nhé ,nó sẽ ra kết quả là 1 đa thức có giá trị âm nếu bạn tính đúng ,hoặc duong nếu bạn tính sai hoặc đề bài có vấn đề ) thế rồi bạn suy ra luôn điều phải chứng mminh nha . Cô dạy bọn mk làm thế mà ,,chắc chắn đúng nhé
\(\hept{\begin{cases}a+3c=2016\\a+2b=2017\end{cases}}\left(1\right)\)
Cộng từng vế của hệ (1), ta được:
\(2a+2b+3c=4033\)
\(\Leftrightarrow2a+2b+2c=4033-c\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)=4033-c\)
Vì c không âm nên \(4033-c\le4033\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\frac{4033}{2}=2016\frac{1}{2}\)
Vậy GTLN của P là \(2016\frac{1}{2}\Leftrightarrow c=0\)
Lúc đó: \(a=2016;b=\frac{1}{2}\)
Ta có: a + 3c = 2016 ; a + 2b = 2017
Do đó : 2a + 2b + 3c = 2a + 2b + 2c + c = 2 (a + b + c) + c = 4033
Suy ra: 2 (a + b + c) = 4033 - c
Để 2 (a + b + c) lớn nhất thì 4033 - c lớn nhất
Nên c nhỏ nhất , mà c >= 0 nên c = 0.
Từ đó ta suy ra : 2 (a + b + c) <= 4033 <=> a + b + c <= 2016,5
Vậy Max P = 2016,5
Khi c = 0 ; a = 2016 ; b = 0,5