Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2ac + 2bc
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
=> (a2 - 2ab + b2) + (a2 - 2ac + c2) + (b2 - 2bc + c2) = 0
=> (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 = 0
Do 3 hạng tử trên đều có giá trị lớn hơn hoặc bằng 0 nên a - b = a - c = b - c = 0
=> a = b = c
b) a3 + b3 + c3 = 3abc
=> a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
=> a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3abc - 3a2b - 3ab2 = 0
=> (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c) = 0
=> (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - bc - ac + c2) - 3ab(a + b + c) = 0
=> (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) = 0
=> a + b + c = 0
hoặc a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac => a = b = c
Ta có : a + b + c = 0
( a + b + c )\(^2\) = 0
\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)
Nên : \(a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\right)\)
\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+8ab^2c+8abc^2+8a^2bc\)
\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+8abc\left(b+c+a\right)\)
\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)
Lại có : \(2\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\right)\)
\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4ab^2c+4abc^2+4a^2bc\)
\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4abc\left(b+c+a\right)\)
\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)
Vì : \(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=2a^2b^2+2b^2c^2=2c^2a^2\)
Vậy \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\left(ab+bc+ac\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\\ \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\\ \Leftrightarrow2\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)=0\\ \Leftrightarrow abc\left(a+b+c\right)=0\left(đpcm;a+b+c=0\right)\)
a + b + c = 0 => (a + b + c)2 = 0 => a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca) (1)
=> (a2 + b2 + c2)2 = 4(ab + bc + ca)2 (2) => a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(ab2c + abc2 + a2bc)).
=> a4 + b4 + c4 = 2a4b2 + 2b2c2 + 2c2a2 + 8abc(a + b + c)
a) => a4 + b4 + c4 = 2(a4b2 + b2c2 + c2a2) (ĐPCM - a)
b) Từ (1) => 2(ab + bc + ca) = -(a2 + b2 + c2 )
=> 4(ab + bc + ca)2 = (a2 + b2 + c2 )2 = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2.
Thay từ (a) 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = a4 + b4 + c4
=> 4(ab + bc + ca)2 = 2(a4 + b4 + c4)
Hay a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 (ĐPCM - b)
c) Từ (2) (a2 + b2 + c2)2 = 4(ab + bc + ca)2 = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(ab2c + abc2 + a2bc)) = 4(a4b2 + b2c2 + c2a2)+ 8abc(a + b + c)
=> (a2 + b2 + c2)2 = 4(a4b2 + b2c2 + c2a2) = 2(a4 + b4 + c4) (Từ a)
Hay a4 + b4 + c4 = 1/2 * (a2 + b2 + c2)2 (ĐPCM - c).
a+b+c = 0
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
=> \(a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
=> \(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
=> \(a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=2\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\) ( do a+b+c = 0 )
\(=2\left(ab+bc+ca\right)^2\) (HĐT)
b/ Ta có: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)+\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}.\left(\frac{2a}{c}+\frac{2b}{a}+\frac{2c}{b}\right)=\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)
Sửa lại đề: \(a+b+c=0\)
a) Ta có:
\(A=a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(=[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)]^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(=4(ab+bc+ac)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(=4(ab+bc+ac)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-4abc(a+b+c)\)
(do \(a+b+c=0\))
\(A=4(ab+bc+ac)^2-2[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)]\)
\(=4(ab+bc+ac)^2-2(ab+bc+ac)^=2(ab+bc+ac)^2\)
Ta có đpcm
b) Ta có:
\(\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2}=\frac{[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)]^2}{2}=\frac{[-2(ab+bc+ac)]^2}{2}=2(ab+bc+ac)^2\)
Kết hợp với kết quả phần a ta có đpcm.
Bạn ơi cái chỗ
= 4(ab+bc+ca)^2 - 2(ab+bc+ca)= 2(ab+bc+ca)^2
thì phải là như thế này chứ
= 4(ab+bc+ca)^2 - 2(ab+bc+ca)^2= 2(ab+bc+ca)^2
Đây là ý mình còn nếu ko phải mong bạn bỏ qua và giải thích cho mình nhé!!
Tại hạ đã biết là thánh học lớp 8
Cao :\_________________________________/