Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a,a=b+1
suy ra a-b=1 suy ra(\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\))(\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\))=1
suy ra \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)=\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)(1)
vì a=b+1 suy ra a>b suy ra \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\)suy ra \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>2\sqrt{b}\)
suy ra \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}< \frac{1}{2\sqrt{b}}\)(2)
từ (1) ,(2) suy ra\(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \frac{1}{2\sqrt{b}}\)suy ra \(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)(*)
ta lại có b+1=c+2 suy ra b-c =1 suy ra\(\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=1\)
suy ra \(\sqrt{b}-\sqrt{c}=\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(3)
vì b>c suy ra \(\sqrt{b}>\sqrt{c}\) suy ra \(\sqrt{b}+\sqrt{c}>2\sqrt{c}\)
suy ra \(\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}< \frac{1}{2\sqrt{c}}\)(4)
Từ (3),(4) suy ra \(\sqrt{b}-\sqrt{c}< \frac{1}{2\sqrt{c}}\) suy ra\(2\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)< \frac{1}{\sqrt{c}}\)(**)
từ (*),(**) suy ra đccm
a\ ta có: \(S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
→\(S+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\)
=\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
mà \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)(dạng khác của bđt co shi)
→\(S+3\ge\left(a+b+c\right)\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\)↔\(S\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
dấu = xảy ra khi a+b=b+c=c+a hay a=b=c=\(\frac{2015}{3}\)
vật GTNN của S=3/2 khi a=b=c=2015/3
b\ ta có: A=a3+b3+ab=(a+b)(a2-ab+b2)+ab mà a+b=1
→A=a2-ab+b2+ab=a2+b2
lại có: \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)(bn tự cm công thức nhé hoặc thay a=1-b vào cũng đc)
do đo \(A\ge\frac{1}{2}\) dấu = xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}}\)
Từ gt,ta có :\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{-a-b}{c\left(a+b+c\right)}\Rightarrow\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)=-\left(a+b\right)ab\)
=> 0 = (a + b)(ca + cb + c2) - [-(a + b)ab] = (a + b)(ca + cb + c2 + ab) = (a + b)(c + a)(c + b)
=> a + b = 0 hoặc c + a = 0 hay c + b = 0.Giả sử a = -b thì a15 = -b15 nên a15 + b15 = 0 => N = 0
Bài 2:
Chứng minh bất đẳng thức Mincopxki \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\text{ }\left(1\right)\)
(bình phương vài lần + biến đổi tương đương)
\(S\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{9}{a+b+c}\right)^2}\)
\(t=\left(a+b+c\right)^2\le\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\)
\(S\ge\sqrt{t+\frac{81}{t}}=\sqrt{t+\frac{81}{16t}+\frac{1215}{16t}}\ge\sqrt{2\sqrt{t.\frac{81}{16t}}+\frac{1215}{16.\frac{9}{4}}}=\frac{\sqrt{153}}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}.\)
ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2015}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{2015}\)
\(\Rightarrow2015\left(ab+bc+ac\right)=abc\)
mà a+b+c=2015 \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)+ac\left(a+c\right)+abc-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(ab+b^2+bc+ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)=0\)
\(\Rightarrow a+c=0\Rightarrow b=2015;b+c=0\Rightarrow a=2015;a+c=0\Rightarrow b=2015\)
VẬy.......