Question

[23Tạ Minh Khang]

Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của 99! -1 đều có ít nhất ba chữ số.

Answer 1

[than thien]

Để chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của \(99 ! - 1\) đều có ít nhất ba chữ số, ta sẽ sử dụng một số tính chất về số nguyên tố và phân tích số \(99 ! - 1\).

Bước 1: Tính chất của \(99 !\)

Số \(99 !\) là tích của tất cả các số nguyên từ 1 đến 99. Do đó, \(99 !\) là một số rất lớn có nhiều ước nguyên tố.

Bước 2: Xét \(99 ! - 1\)

Ta cần xem xét số \(99 ! - 1\). Một điều quan trọng cần lưu ý là nếu \(�\) là một ước nguyên tố của \(99 ! - 1\), thì ta có:

\(99 ! \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } �\)

Điều này có nghĩa là \(99 !\) chia hết cho \(�\) khi cộng thêm 1. Từ đó, chúng ta suy ra rằng \(�\) không thể là một trong các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 99 (bao gồm các số nguyên tố như 2, 3, 5, 7, ... 97) vì tất cả những số này đều là ước của \(99 !\).

Bước 3: Số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn 100

Số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 99 là hữu hạn và có thể được đếm. Các số nguyên tố này là:

\(2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97\)

Tổng cộng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 99.

Bước 4: Kết luận về ước nguyên tố của \(99 ! - 1\)

Vì \(99 ! \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } �\) cho mọi \(�\) là số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 99, và \(99 ! - 1 \equiv - 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } �\), nên không có số nguyên tố nào trong số 25 số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 99 là ước của \(99 ! - 1\).

Bước 5: Kiểm tra ước nguyên tố lớn hơn 99

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của \(99 ! - 1\) phải lớn hơn 99. Giả sử \(�\) là một ước nguyên tố của \(99 ! - 1\). Như đã phân tích ở trên, \(�\) không thể là một số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 99. Do đó, \(�\) phải lớn hơn 99.

Bước 6: Chứng minh số chữ số

Để chứng minh rằng \(�\) có ít nhất ba chữ số, ta cần chỉ ra rằng:

\(� \geq 101\)

Số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 99 là 101. Để kiểm tra rằng \(99 ! - 1\) không có ước nguyên tố nào nhỏ hơn 100, ta có thể sử dụng định lý về số nguyên tố hoặc tính toán cụ thể để tìm các ước nguyên tố.

Kết luận

Do đó, ta có thể kết luận rằng mọi ước nguyên tố của \(99 ! - 1\) đều có ít nhất ba chữ số, tức là:

\(\text{M}ọ\text{i}\&\text{nbsp};ướ\text{c}\&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; 99 ! - 1 \&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp}; \geq 101.\)

Điều này chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của \(99 ! - 1\) đều có ít nhất ba chữ số.

Tham khảo

Answer 2

[Tran Phuc Giang Thi]

@ than thien, nếu bạn chép mạng thì vui lòng ghi thêm chữ "tham khảo" ở phần đầu bài nhé!