Question

[Nguyễn Thu Hà]

Chứng minh rằng không thể có hữu hạn số nguyên tố.

Answer 1

[Lê Nguyên Hạo]

Gọi tập các số nguyên tố đã biết là P={p1, p2, …., pn} 
Xét số A= p1*p2*….*pn + 1 
Dễ thấy: A không hề chia hết cho bất cứ số nguyên tố nào đã biết (tức thuộc P) (1). 
Nhưng A luôn có thể phân tích thành các thừa số nguyên tố => A chia hết cho 1 số nguyên tố p nào đó. 
Từ (1) suy ra p ko thuộc P. 
Vậy luôn tồn tại 1 số nguyên tố ngoài những số đã biết. Tức có vô số số nguyên tố 

Chú ý: Công thức của A không phải là công thức tạo 1 số nguyên tố. Vì: 

_Nếu p1, p2,…, pn khác 2thì p1, p2,… pn lẻ. 
Suy ra A = p1*p2*…*pn +1 chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. A>2 suy ra A không phải là số nguyên tố. 

_Nếu p1, p2,…, pn có 1 số =2: 
Ví dụ: A = 2*7 +1 =15: không là số nguyên tố.

Answer 2

[Châu Lê Thị Huỳnh Như]

Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p₁ , p₂ ....., p_n trong đó p_n là số lớn nhất trong các số nguyên tố.

Xét số A = p₁p₂ .... p_n thì A chia cho mỗi số nguyên tố p₁ ( 1 < i < n ) đều dư 1   ( 1 )

Mặt khác A là hợp số ( vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là p_n ) do đó A phải chia hết cho một số nguyên tố nào đó, tức là A chia hết cho một trong các số p₁ ) 1 < i < n ) ( 2 ), mâu thuẫn với ( 1 ).

Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố ( đpcm )

Qua sự phân bố các nguyên tố, nhà toán học Pháp Bec - tơ - răng đưa ra dư đoán : Nếu n > 1 thì giữa n và 2n có ít nhất một số nguyên tố. Năm 1852, nhà toán học Nga Trê - bư - sếp đã chứng minh được mệnh đề này. Ông còn chứng minh được :

Nếu n > 3 thì giữa n và 2n - 2 có ít nhất một số nguyên tố. Ta cũng có mệnh đề sau : Nếu n > 5 thì giữa n và 2n có ít nhất hai số nguyên tố.