Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(A=x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) với mọi x
b) \(B=x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) với mọi x
c) \(x^2+xy+y^2+1=\left(x+\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2+1>0\) với mọi x,y
d) bạn kiểm tra lại đề câu d) nhé:
\(x^2+4y^2+z^2-2x-6y+8z+15\)
\(=\left(x-1\right)^2+\left(2y-\frac{6}{4}\right)^2+\left(z+4\right)^2-\frac{13}{4}\)
\(A=\left(x-y\right)^2\left(z^2-2z+1\right)-2\left(z-1\right)\left(x-y\right)^2+\left(x-y\right)^2\)
\(A=\left(x-y\right)^2\left(z-1\right)^2-2\left(x-y\right)\left(z-1\right)\left(x-y\right)+\left(x-y\right)^2\)
\(A=\left[\left(x-y\right)\left(z-1\right)-\left(x-y\right)\right]^2\ge0\) \(\forall x,y,z\)
1.
Xét hiệu:
\(x^3+y^3-\left(x^2y+xy^2\right)=\left(x^3-x^2y\right)-\left(xy^2+y^3\right)\)
\(=x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\), Với mọi x, y không âm
Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)với mọi x, y không âm
2. \(111\left(x-2\right)\ge1998\Leftrightarrow x-2\ge\frac{1998}{11}\Leftrightarrow x\ge\frac{1998}{11}+2=\frac{2020}{11}\)
3. Xét hiệu:
\(\frac{a-b}{b}-1=\frac{a}{b}-1-1=\frac{a}{b}-2>\frac{2b}{b}-2=2-2=0\)Với mọi , a, b dương
Vậy \(\frac{a-b}{b}>1\)với mọi a, b dương
4) xét hiệu:
\(x^2+y^2+z^2+14-\left(4x+2y+6z\right)\ge0\)\
<=> \(x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2-6z+9=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-3\right)^2\ge0\)luôn đúng vs mọi x, y, z
Vậy suy ra điều cần chứng minh
Câu hỏi của Yến Trần - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
\(P=x^3\left(z-y^2\right)+y^3\left(x-z^2\right)+z^3\left(y-x^2\right)+xyz\left(xyz-1\right)\)
\(P=\left(-x^3\left(y^2-z\right)\right)+xy^3-y^3z^2+yz^3-x^2z^3+x^2y^2z^2-xyz\)
\(P=\left(-x^3\left(y^2-z\right)\right)+\left(xy^3-xyz\right)-\left(y^3z^2-yz^3\right)+\left(x^2y^2z^2-x^2z^3\right)\)
\(P=\left(-x^3\left(y^2-z\right)\right)+\left(xy\left(y^2-z\right)\right)-\left(yz^2\left(y^2-z\right)\right)+\left(x^2z^2\left(y^2-z\right)\right)\)
\(P=\left(-x^3+xy-yz^2+x^2z^2\right)\left(y^2-z\right)\)
\(P=\left(\left(x^2z^2-x^3\right)-\left(yz^2-xy\right)\right)\left(y^2-z\right)\)
\(P=\left(x^2\left(z^2-x\right)-y\left(z^2-x\right)\right)\left(y^2-z\right)\)
\(P=\left(\left(x^2-y\right)\left(z^2-x\right)\right)\left(y^2-z\right)\)
\(P=\left(a.c\right).b\)
\(P=a.b.c\)
Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào biến x;y;z (điều cần chứng minh)