Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Để ý rằng : \(x\sqrt{x}-1=\sqrt{x^3}-\sqrt{1^3}=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)\)
\(P=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\)
\(P=\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(P=\frac{x+2+x-1-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(P=\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)
2) \(x=28-6\sqrt{3}=\left(3\sqrt{3}-1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=3\sqrt{3}-1\)
Thay vào P ta được :
\(P=\frac{3\sqrt{3}-1}{28-6\sqrt{3}+3\sqrt{3}-1+1}\)
\(P=\frac{3\sqrt{3}-1}{28-3\sqrt{3}}\)
3) \(P=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}< \frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x}+1>3\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1>0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2>0\)
BĐT cuối luôn đúng \(\forall x>1\)
Ta có đpcm
4) \(P=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{2}{7}\)
\(\Leftrightarrow2x+2\sqrt{x}+2=7\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow2x-5\sqrt{x}+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Vậy...
5) \(P=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)
\(\Leftrightarrow Px+P\sqrt{x}+P=\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow x\cdot P+\sqrt{x}\left(P-1\right)+P=0\)
Phương trình trên có nghiệm khi \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)^2-4P^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow P^2-2P+1-4P^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3P^2-2P+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3\left(P^2+\frac{2}{3}P-\frac{1}{3}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow P^2+\frac{2}{3}P-\frac{1}{3}\le0\)
\(\Leftrightarrow P^2+2\cdot P\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{4}{9}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(P+\frac{1}{3}\right)^2\le\left(\frac{2}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{1}{3}\le\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{3}\)
Vậy \(maxP=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=1\)??
Đoạn này sai sai ta ?
Ta có điều phải chứng minh: \(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}=\frac{3}{\sqrt{2}}\) với điều kiện x bình phương lên = \(\sqrt{a^2+1};\sqrt{b^2+1};\sqrt{c^2+1}\)
\(\Leftrightarrow1+1+1+x^2+x^2+x^2=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
\(=3+x^2+x^2+x^2=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Coi 3 là tử, các số x2 còn lại là mẫu. Ta có: \(\frac{3}{x^2+x^2+x^2}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
Ps: Mình mới học lớp 6 đó! Nhưng vẫn cố giải bài lớp 9
\(=\left(\frac{x-2\sqrt{x}-1}{x-4}-\frac{x-4}{x-4}\right):\left[\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}\right]\)
\(=\frac{x-2\sqrt{x}-1-x+4}{x-4}:\left[\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}\right]\)
\(=\frac{3-2\sqrt{x}}{x-4}:\frac{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(x-4\right)\left(\sqrt{x}+3\right)-\left(x-9\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x-3}\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
bạn làm tiếp nha! làm bằng máy tính phức tạp lắm
Đặt a-1=x, b-1=y (\(x,y>\frac{\sqrt{5}-3}{2}\))
=> \(xy=1\)
VT= \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2+x}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2+y}=\frac{1}{\left(\frac{1}{y}+1\right)^2+\frac{1}{y}}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2+y}=\frac{y^2+1}{\left(y+1\right)^2+y}\)\(=\frac{2}{5}-\frac{3\left(y-1\right)^2}{\left(y+1\right)^2+y}\ge\frac{2}{5}\)(do \(\left(y+1\right)^2+y=b^2+b-1>0\))
Dấu bằng khi \(x=y=1\)=> \(a=b=2\)
đơn giản hơn cách của quý đây
a+b=ab => \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{y}=b\)
Khi đó \(\frac{1}{a^2+a-1}=\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2+\frac{1}{x}-1}=\frac{x^2}{1+x-x^2}\)
Chứng minh tương tự với b
=> Đặt A=\(\frac{1}{a^2+a-1}+\frac{1}{b^2+b-1}=\frac{x^2}{1+x-x^2}+\frac{y^2}{1+y-y^2}\)
Cauchy-Schwarz và nhớ: x+y=1 và x2+y2 >=1/2
OK
\(P=3\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\frac{1}{2ab}\ge\frac{3.4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{14}{\left(a+b\right)^2}=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{17}<\frac{1}{5}.13=\frac{13}{5}<2\)