Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n} }=\frac{\sqrt{n} }{n(n+1)}=\sqrt{n} (\frac{1}{\sqrt{n} } -\frac{1}{\sqrt{n+1} } )(\frac{1}{\sqrt{n} } +\frac{1}{\sqrt{n+1} } )=(1+\frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n+1} } )(\frac{1}{\sqrt{n} } -\frac{1}{\sqrt{n+1} } <2(\frac{1}{\sqrt{n} } -\frac{1}{\sqrt{n+1} } )\)
Áp dụng BĐT vừa CM ta có
A< 2(1-\(\frac{1}{\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{2} } -\frac{1}{\sqrt{3} } +...+\frac{1}{\sqrt{n} } -\frac{1}{\sqrt{n+1} } \))<2(đpcm)
Áp dụng BĐT AM-GM, Ta có
\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\Rightarrow yz\sqrt{x-1}\le\dfrac{xyz}{2}\)
Mà \(xz\sqrt{y-2}\le\dfrac{xz\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}\)
\(yx\sqrt{z-3}\le yx.\dfrac{3+z-3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{z-3}}{xyz}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
a: \(=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}+\dfrac{4}{5}\cdot10\sqrt{2}\right)\cdot8\)
\(=2\sqrt{2}-12\sqrt{2}+64\sqrt{2}\)
\(=54\sqrt{2}\)
b: \(=2\sqrt{6}-4\sqrt{2}+9+4\sqrt{2}-2\sqrt{6}=9\)
c: \(=\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}\)
d: \(=\sqrt{\dfrac{4-2\sqrt{3}}{4}}+\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}-1+1-\sqrt{3}}{2}=0\)
a/ \(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}=1+\dfrac{1}{2.2}+...+\dfrac{1}{n.n}\)
\(< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)
\(=1+1-\dfrac{1}{n}=2-\dfrac{1}{n}< 2\)
bạn nên tự nghiên cứu rồi giải đi chứ bạn đưa 1 loạt thế thì ai rảnh mà giải, với lại cứ bài gì không biết chưa chịu suy nghĩ đã hỏi rồi thì tiến bộ sao được, đúng không
Chứng minh biểu thức đó <2
Với mọi \(n\in N^{\cdot}\), ta có
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Leftrightarrow1< 2\left(n+1\right).\sqrt{n}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Leftrightarrow0< n+1-2\sqrt{n+1}.\sqrt{n}+n\)
\(\Leftrightarrow0< \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2\)(Luôn đúng vì n thuộc N*)
Do đó: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}}+...\dfrac{1}{2005\sqrt{2004}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2004}}-\dfrac{1}{\sqrt{2005}}\right)\)
\(=2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2005}}\right)< 2\)
mk ko hiểu dòng thứ 3 cho lắm,tại sao ta luôn có điều đó vậy ạ