Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(\left(a+b\right)^2\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+b\right)\)
\(=a^2+ab+ba+b^2\)
\(=a^2+2ab+b^2\)
Vậy \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\)
\(\left(a+b+c\right)^2=a\left(a+b+c\right)+b\left(a+b+c\right)+c\left(a+b+c\right)\)
\(=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
Đặt A = a + b
Biến đổi vế trái ta có
:\(\left(A+c\right)^2=A^2+2Ac+c^2\)=\(\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)c+c^2=a^2+b^2+2ab+2ac+2bc+c^2\)
Vậy vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh
Ta có : a2 + b2 - 2ab + 1
= a2 - 2ab + b2 + 1
= (a - b)2 + 1
mà (a - b)2 > 0 \(\forall\) a,b
=> (a - b)2 + 1 > 0
Vậy a2 + b2 - 2ab + 1 > 0
a) \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu a :
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b\)
Câu b :
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( đúng )
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)
( a - b + c )2
= [ ( a - b ) + c ]2
= ( a - b )2 + 2( a - b )c + c2
= a2 - 2ab + b2 + 2ac - 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc + 2ca ( đpcm )
\(\left(a-b+c\right)^2\)
\(=\left(a-b+c\right).\left(a-b+c\right)\)
\(=a.\left(a-b+c\right)-b.\left(a-b+c\right)+c.\left(a-b+c\right)\)
\(=a^2-ab+ac-\left(ab-b^2+bc\right)+ac-bc+c^2\)
\(=a^2-ab+ac-ab+b^2-bc+ac-bc+c^2\)
\(=a^2-2ab+2ac+b^2-2bc+c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac\)
\(\Rightarrow\left(a-b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac\left(đpcm\right).\)
Bài làm:
Ta có: \(\left(a-b-c\right)^2\)
\(=\left[a-\left(b+c\right)\right]^2\)
\(=a^2-2a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2\)
\(=a^2-2ab-2ac+b^2+2bc+c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac\)
( a - b - c )2
= [ ( a - b ) - c ]2
= ( a - b )2 - 2( a - b )c + c2
= a2 - 2ab + b2 - 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ac ( đpcm )
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác
\(\Rightarrow a^2=a.a< a\left(b+c\right)=ab+ac\)
TT\(\Rightarrow b^2< ba+bc;c^2< cb+ca\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
Hay \(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\left(\text{đ}pcm\right)\)
Ta có:
a2+2ab+b2
=(a2+ab)+(b2+ab)
=a(a+b)+b(a+b)
=(a+b)(a+b)
=(a+b)2
\(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\) (áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng)
\(\Rightarrowđpcm\)