Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
a) \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c}\)
=> ĐPCM
b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3a^2+3b^2+3c^2\)
\(\Leftrightarrow-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2bc+2ac=0\)
\(\Leftrightarrow-\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c}\)
=> ĐPCM
c) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3ab+3bc+3ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c}\)
=> ĐPCM
@Ngọc Minh Dương
Cách tách ra là cách của người học toán mức TB
Đề bắt C/m nhé
VT=0 hiển nhiên
VP=\(3\left[\left(a^2-ab\right)+\left(b^2-bc\right)+\left(c^2-ca\right)\right]=3\left[a\left(a-b\right)+b\left(b-c\right)+c\left(c-a\right)\right]=3.\left[0+0+0\right]=3.0=0\)VT=VP=0
Lưu Hiền cái cách của bạn --> đúng cái đề này không cần hỏi >>> cái người hỏi cần cách làm bằng bộ não không phải làm = chân tay
Có :
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
\(=a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ac\)
\(=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ab\)
\(3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(=3a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc-3ac\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ab=3a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc-3ac\)
Trừ cả 2 vế đi \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc;\)có :
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-bc-ca-ac=0\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ac\right)=0.2\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)+\left(a^2+c^2-2ab\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a-b=b-c=c-a=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Vậy ...
3 bài thì thấy 1 bài có trên mạng rồi, buồn thật:( Bài cuối từ từ tí mở Maple lên check đề. Thấy lạ lạ không dám làm ngay:v
Bài 1: Ez game, chỉ là Buffalo Way, mà Ji Chen (tác giả BĐT Iran 96 có giải rồi, mình không giải lại): hard inequalities
Bài 2: Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{3x}{x+y+z};\frac{3y}{x+y+z};\frac{3z}{x+y+z}\right)\) rồi quy đồng lên xem.
Bài 3: Tí check đề cái đã.
Thay ab+bc+ac = 1 và Q ta được :
\(Q=\left(a^2+ab+ac+bc\right)\left(b^2+ab+ac+bc\right)\left(c^2+ab+ac+bc\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(=\left[\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right]^2\) là bình phương của một số hữu tỉ (đpcm)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
tớ chịu = 32