Question

[Trần Thị Thịnh]

CHỨNG MINH RẰNG: \(1^n+2^n+3^n+4^n\)Chia hết cho\(5\)

Khi và Chỉ Khi n không chia hết cho 4. \(\left(n\in N\right)\)

Answer 1

[Huỳnh Thị Bích Tuyền]

Ta có : \(1^n+2^n+3^n+4^n=10^n\) chia hết cho 5

Cũng biết, 5 chia hết cho các số có tận cùng = 0;5 .

Mà \(10^n\)có số tận cùng là 0 (vd: 10⁵=100 000 ; 10⁶=10 00 000..v...v) và n không chia hết cho 4(\(n\in N\)) nên sẽ chia hết cho 5

Vậy \(1^n+2^n+3^n+4^n\)chia hết cho 5 .

Answer 2

[Nguyễn Triệu Yến Nhi]

+) Với n=4k+3 hoặc n=4k+1 => 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ lẻ. k \(\in\)|N.

1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ đồng đư với 1ⁿ+2ⁿ+(-2)ⁿ+(-1)ⁿ (mod 5) hay 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ đồng đư với 1ⁿ+2ⁿ-2ⁿ-1ⁿ=0 (mod 5)

=> 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ chia hết cho 5.

+) Với n=4k+2, k\(\in\)|N.

1+2^4k+2+3^4k+2+4^4k+2=1+2².2^4k+3².3^4k+4².4^4k

                                  =1+4.16^k+9.81^k+16.256^k

                 đồng dư với : 1.1+4.1+9.1+16.1=30 (mod 5)

=> 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ chia hết cho 5.

+) Với n=4k, k\(\in\)|N.

1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ = 1+2^4k+3^4k+4^4k

                      = 1+16^k+81^k+16^k

       đồng dư với: 1+1+1+1=4 (mod 5)

=> 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ không chia hết cho 5.

=> ĐPCM