Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(b=\dfrac{-6c-5a}{4}\).
Ta cần cm \(b^2-4ac\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\left(6c+5a\right)^2}{16}\ge4ac\Leftrightarrow36c^2+25a^2-4ac\ge0\Leftrightarrow\left(4a-c\right)^2+35c^2+9a^2\ge0\).(luôn đúng)
Lời giải:
$f(x)=ax^2+bx+c$ liên tục trên $[0; \frac{1}{3}]$
$f(0)=c$
$f(\frac{1}{3})=\frac{1}{9}a+\frac{1}{3}b+c$
$\Rightarrow 18f(\frac{1}{3})=2a+6b+18c$
$\Rightarrow f(0)+18f(\frac{1}{3})=2a+6b+19c=0$
$\Rightarrow f(0)=-18f(\frac{1}{3})$
$\Rightarrow f(0).f(\frac{1}{3})=-18f(\frac{1}{3})^2\leq 0$
$\Rightarrow$ pt luôn có nghiệm trong $[0; \frac{1}{3}]$ (đpcm)
Đặt \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
Hàm f(x) liên tục trên R
Ta có: \(f\left(1\right)=a+b+c\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+c\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5a}{4}+\dfrac{3b}{2}+2c=0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\left[f\left(1\right)\right]^2\le0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[\dfrac{1}{2};1\right]\) hay pt đã cho luôn có nghiệm
Đặt \(f\left(x\right)=ax^{3\:}+bx^2+cx+d\left(a\ne0\right)\)
Nếu \(a< 0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=+\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=-\infty\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(-\infty;+\infty\right)\), với \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm
Nếu \(a>0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm
- Đặt f(x) = (x – a).(x - b) + (x - b).(x - c)+ (x – c).(x- a) thì f(x) liên tục trên R.
- Không giảm tính tổng quát, giả sử a ≤ b ≤ c
- Nếu a = b hoặc b = c thì f(b) = ( b - a).(b - c) = 0 suy ra phương trình có nghiệm x = b.
- Nếu a < b < c thì f(b) = (b - a)(b - c) < 0 và f(a) = (a - b).(a - c) >) 0
do đó tồn tại x 0 thuộc khoảng (a, b) để f x 0 = 0
- Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a)x^5 - 3x+3=0 b)x^5+x-1=0 c)x^4+x^3-3x^2+x+1=0
Lời giải:
a) $f(x)=x^5-3x+3$ liên tục trên $R$
$f(0)=3>0; f(-2)=-23<0\Rightarrow f(0)f(-2)<0$
Do đó pt $f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(-2;0)$
Nghĩa là pt đã cho luôn có nghiệm.
b) $f(x)=x^5+x-1$ liên tục trên $R$
$f(0)=-1<0; f(1)=1>0\Rightarrow f(0)f(1)<0$
Do đó pt $f(x)=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(0;1)$
Hay pt đã cho luôn có nghiệm.
c) $f(x)=x^4+x^3-3x^2+x+1$ liên tục trên $R$
$f(0)=1>0; f(-1)=-3<0\Rightarrow f(0)f(-1)<0$
$\Rightarrow f(x)=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(-1;0)$
Hay pt đã cho luôn có nghiệm.
Đặt \(f\left(x\right)=x^3+ax^2-bx+c\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^3+ax^2-bx+c\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left(1+\dfrac{a}{x}-\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại \(x=m>0\) đủ lớn sao cho \(f\left(m\right)>0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^3+ax^2-bx+c\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=-\infty\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại \(x=n< 0\) đủ nhỏ sao cho \(f\left(n\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(m\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm