Question

[Pham Trong Bach]

Chứng minh phương trình luôn  $x^n + a_1{x}^{n-1} + a_2{x}^{n-2} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$ có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Hàm số  f ( x )   =   x n   +   a 1 x n - 1   +   a 2 x n - 2   +   . . .   +   a n - 1 x   +   a n   =   0  xác định trên R

- Ta có

Vì  nên với dãy số ( x n ) bất kì mà x n   →   + ∞ ta luôn có lim f ( x n )   =   + ∞

Do đó, f ( x n ) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì f ( x n )   >   1 kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho f(a) > 1 (1)

Vì  nên với dãy số ( x n ) bất kì mà x n   →   − ∞ ta luôn có lim f ( x n )   =   − ∞ hay l i m [ − f ( x n ) ]   =   + ∞

Do đó, − f ( x n ) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì − f ( x n )   >   1 kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho −f(b) > 1 hay f(b) < −1 (2)

- Từ (1) và (2) suy ra f(a).f(b) < 0

Mặt khác, f(x) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]

Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm.