Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TL:
sinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC => Tam giác ABC Vuông tại A
Vế trái = sinA + sinB + sinC
= 2sin(A + B)/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2
= 2cosC/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2
= 2cosC/2[cos(A - B)/2 + sinC/2]
=2.cosC/2.[cos(A - B)/2 + cos(A + B)/2]
= 4.cosC/2.cosB/2.cosA/2
Vế phải = 1 - cosA + cosB + cosC
= 2sin²A/2 + 2cos(B + C)/2.cos(B - C)/2
= 2.sinA/2[sinA/2 + cos(B - C)/2] (vì cos(B + C)/2 = sinA/2)
= 2.sinA/2[cos(B + C)/2 + cos(B - C)/2
= 4.sinA/2.cosB/2.cosC/2
Vậy sinA + sinB + sinC = 1 - cosA + cosB + cosC
<=> cosA/2.cosB/2.cosC/2 = sinA/2.cosB/2.cosC/2
<=> cosB/2.cosC/2(sinA/2 - cosA/2) = 0
mà cosB/2 ≠ 0 và cosC/2 ≠ 0
=> sinA/2 = cosA/2
<=> A/2 = 45o
<=> A = 90o
tam giác ABC vuông tại A
Lời giải:
Áp dụng 1 số công thức lượng giác:
\(\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}=\frac{2\sin (\frac{B+C}{2})\cos (\frac{B-C}{2})}{2\cos (\frac{B+C}{2})\cos (\frac{B-C}{2})}=\frac{\sin \frac{B+C}{2}}{\cos \frac{B+C}{2}}\)
\(=\tan \frac{B+C}{2}=\tan (\frac{\pi-A}{2})=\cot \frac{A}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}=\frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}\) (trong tam giác, \(\widehat{A}\neq 0\rightarrow \sin \frac{A}{2}\neq 0)\)
\(\Leftrightarrow \cos \frac{A}{2}(2\sin^2 \frac{A}{2}-1)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \cos \frac{A}{2}=0\rightarrow \frac{\widehat{A}}{2}=\frac{\pi}{2}\rightarrow \widehat{A}=\pi (\text{vô lý})\\ \sin \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\rightarrow \frac{\widehat{A}}{2}=\frac{\pi}{4}\rightarrow \widehat{A}=\frac{1}{2}\pi=90^0 \end{matrix}\right.\)
Do đó tam giác ABC vuông tại A
1.
\(sinA+sinB-sinC=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-sin\left(A+B\right)\)
\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A+B}{2}\)
\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.\left(cos\dfrac{A-B}{2}-cos\dfrac{A+B}{2}\right)\)
\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.2sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}\)
\(=4sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}\)
Sao t lại đc như này v, ai check hộ phát
Theo định lí sin:
\(sinB=\dfrac{b}{2R};sinC=\dfrac{c}{2R};sinA=\dfrac{a}{2R}\)
Theo định lí cosin:
\(cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac};cosC=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab};cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
Theo giả thiết ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}sinB+sinC=2sinA\\cosB+cosC=2cosA\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{2R}+\dfrac{c}{2R}=2.\dfrac{a}{2R}\\\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=2.\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=2a\\\dfrac{a^2b+bc^2-b^3}{2abc}+\dfrac{a^2c+b^2c-c^3}{2abc}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{bc}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=2a\\\dfrac{\left(b+c\right)\left(a^2+bc-b^2-c^2+bc\right)}{2a}=b^2+c^2-a^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=2a\\\dfrac{2a\left(a^2-b^2-c^2+2bc\right)}{2a}=b^2+c^2-a^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=2a\\a^2-b^2-c^2+2bc=b^2+c^2-a^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=2a\\a^2-b^2-c^2+bc=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=2a\\\left(\dfrac{b+c}{2}\right)^2-b^2-c^2+bc=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=2a\\3b^2+3c^2-6bc=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=2a\\3\left(b-c\right)^2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=2a\\b=c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) đều
a)\(VT=sinA+sinB+sinC=2sin\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}.cos\frac{C}{2}\)
\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}\right)=4cos\frac{C}{2}.cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}\)(đpcm)
a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ta có:
b) Theo định lí tổng ba góc của tam giác ta có:
A + B + C = 180º
⇒ sin A = sin [180º – (B – C)]= sin (B + C) = sinB.cos C + cosB. sinC (đpcm)
c) Theo định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
\(\sin A=\sin\left(\Pi-B-C\right)=\sin\left(B+C\right)\)
\(=\sin B\cos C+\cos B\sin C\)