NP
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
12 tháng 6 2017
Cố gắng hơn nữa ah. Thế vô là thấy nó sai liền nên m không giải nữa.
12 tháng 6 2017
Thay \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=2\end{cases}}\) thì ta có:
\(\left(\sqrt[3]{2^4}+2^2.\sqrt[3]{2^2}+2^4\right).\frac{\left(\sqrt[3]{2^8}-2^6+2^4.\sqrt[3]{2^2}-2^2.2^2\right)}{2^2.2^2+2^2-2^8.2^2-2^4}=2^2.2^2\)
\(\Leftrightarrow1,477=16\left(sai\right)\)
Vậy đề bài cho tào lao.
HP
5 tháng 9 2021
Dấu BĐT bị ngược, sửa đề: \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).
Đặt \(b^2=x\left(x>0\right)\Rightarrow a+x=2ax\).
Khi đó ta cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\)
\(\le\dfrac{1}{2a^2x+2ax^2}+\dfrac{1}{2ax^2+2a^2x}\)
\(=\dfrac{2}{2ax\left(a+x\right)}\)
\(=\dfrac{1}{ax\left(a+x\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2a^2x^2}\)
Ta thấy: \(a+x\ge2\sqrt{ax}\)
\(\Leftrightarrow2ax\ge2\sqrt{ax}\)
\(\Leftrightarrow ax-\sqrt{ax}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\left(\sqrt{ax}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\ge1\)
\(\Rightarrow ax\ge1\)
Khi đó: \(\dfrac{1}{2a^2x^2}\le\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)
Hay \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).
DT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 7 2020
Lời giải:
Ta có: $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\geq 0$ với mọi $a,b$
$\Leftrightarrow ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$
Do đó: $a^2+b^2=4+ab\leq 4+\frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow a^2+b^2\leq 8(*)$
Mặt khác:
Từ đkđb suy ra $2(a^2+b^2)=2(4+ab)$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2)=8+(a+b)^2\geq 8$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{8}{3}(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow$ đpcm.
9 tháng 4 2021
tính ra bạn ấy hỏi vào năm 2016 khi có người trả lòi thì đã là năm 2020
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 7 2021
a.
Ta có: \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{3}.2^2=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
b.
\(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.2^2=2\) (sử dụng kết quả \(a^2+b^2\ge2\) của câu a)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
c.
\(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{1}{2}ab.2ab\left(a^2+b^2\right)\le\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)^2\left(2ab+a^2+b^2\right)^2=2\)
d.
\(8\left(a^4+b^4\right)+\dfrac{1}{ab}\ge8.2+\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}=16+\dfrac{4}{2^2}=17\) (sử dụng kết quả câu b)
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
9 tháng 6 2018
Bài 6 . Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)
⇔ ( a + b)2 ≥ 4ab
⇔ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)≥ ab
⇔ \(\dfrac{a+b}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) ( 1 )
CMTT , ta cũng được : \(\dfrac{b+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{bc}{b+c}\) ( 2) ; \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ac}{a+c}\)( 3)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , Ta có :
\(\dfrac{a+b}{4}\) + \(\dfrac{b+c}{4}\) + \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)
⇔ \(\dfrac{a+b+c}{2}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)
9 tháng 6 2018
Bài 4.
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương a , b, c , ta có :
\(1+\dfrac{a}{b}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) ( a > 0 ; b > 0) ( 1)
\(1+\dfrac{b}{c}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{b}{c}}\) ( b > 0 ; c > 0) ( 2)
\(1+\dfrac{c}{a}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\) ( a > 0 ; c > 0) ( 3)
Nhân từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta được :
\(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\) ≥ \(8\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}=8\)
14 tháng 7 2018
ta có : \(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6\ne\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\)
và \(a^2b^2\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\) cũng có thể âm
\(\Rightarrow\) sai
\(a^8-b^8=\left(a^4\right)^2-\left(b^4\right)^2=\left(a^4-b^4\right)\left(a^4+b^4\right)=\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\)