Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a là số tự nhiên > 0. giả sử có m,n > 0 ∈ Z để:
2a + 1 = n^2 (1)
3a +1 = m^2 (2)
từ (1) => n lẻ, đặt: n = 2k+1, ta được:
2a + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1
=> a = 2k(k+1)
vậy a chẵn .
a chẳn => (3a +1) là số lẻ và từ (2) => m lẻ, đặt m = 2p + 1
(1) + (2) được:
5a + 2 = 4k(k+1) + 1 + 4p(p+1) + 1
=> 5a = 4k(k+1) + 4p(p+1)
mà 4k(k+1) và 4p(p+1) đều chia hết cho 8 => 5a chia hết cho 8 => a chia hết cho 8
ta cần chứng minh a chia hết cho 5:
chú ý: số chính phương chỉ có các chữ số tận cùng là; 0,1,4,5,6,9
xét các trường hợp:
a = 5q + 1=> n^2 = 2a+1 = 10q + 3 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý)
a =5q +2 => m^2 = 3a+1= 15q + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý)
(vì a chẵn => q chẵn 15q tận cùng là 0 => 15q + 7 tận cùng là 7)
a = 5q +3 => n^2 = 2a +1 = 10a + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý)
a = 5q + 4 => m^2 = 3a + 1 = 15q + 13 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý)
=> a chia hết cho 5
5,8 nguyên tố cùng nhau => a chia hết cho 5.8 = 40
hay : a là bội số của 40
2n+1=a^2 (1), 3n+1=b^2 (2)
Từ (1) suy ra a lẻ, đặt a=2k+1 suy ra 2n+1=4k^2+4k+1, n=2k^2+2k, suy ra n chẵn
suy ra 3n+1 lẻ, từ 2 suy ra b lẻ. Đặt b=2p+1
(1)+(2) ta có 5n+2=4k^2+4k+1+4p^2+4p+1, suy ra 5n=4k(k+1)+4p(p+1)
suy ra 5n chia hết cho 8, suy ra n chia hết cho 8
Ta cần chứng minh n chia hết cho 5
Số chính phương có các tận cùng là 0,1,4,5,6,9
Lần lượt xét các trường hợp n=5q+1, 5q+2, 5q+3,5q+4, đều không thỏa mãn 2n+1, 3n+1 là số chính phương. Vậy n phải chia hêts cho 5
Mà 5 và 8 nguyên tố cùng nhau, nên n chia hết cho 40 (đpcm)
Đề bài hình như thiếu dữ liệu thì phải ha,bạn xem lại đề nha!
Mk đọc đề cảm thấy đề cứ cộc lốc kiểu j ấy.Nooooo có dữ liệu j cả nha!
Kb vs mk nhé!
Lời giải:
Trước hết ta cần nắm 1 số tính chất:
- Một scp lẻ khi chia 8 dư 1 (bạn có thể xét mô đun 4 của số đó để chứng minh)
- Một scp khi chia 5 dư $0,1$ hoặc $4$.
----------------------
Ta có: $2n+7$ là scp lẻ nên $2n+7\equiv 1\pmod 8$
$\Rightarrow 2n+6\equiv 0\pmod 8$
$\Rightarrow n+3\equiv 0\pmod 4$
$\Rightarrow n$ lẻ.
$\Rightarrow 3n+10$ cũng là scp lẻ.
$\Rightarrow 3n+10\equiv 1\pmod 8$
$\Rightarrow 3n+9\equiv 0\pmod 8$
$\Rightarrow 3(n+3)\equiv 0\pmod 8\Rightarrow n+3\equiv 0\pmod 8(*)$
Lại có:
Đặt $2n+7=a^2, 3n+10=b^2$ với $a,b$ là số tự nhiên.
$\Rightarrow 2n+7+3n+10=a^2+b^2$
$\Rightarrow a^2+b^2=5n+17\equiv 2\pmod 5$
Ta thấy $a^2\equiv 0,1,4\pmod 5; b^2\equiv 0,1,4\pmod 5$
Do đó để $a^2+b^2\equiv 2\pmod 5$ thì chỉ khi $a^2, b^2\equiv 1\pmod 5$
$\Rightarrow 3n+10\equiv 1\pmod 5$
$\Rightarrow 3n+9\equiv 0\pmod 5$
$\Rightarrow 3(n+3)\equiv 0\pmod 5$
$\Rightarrow n+3\equiv 0\pmod 5(**)$
Từ $(*); (**)$ mà $(5,8)=1$ nên $n+3\vdots 40$.