Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(25^{n+1}-25^n=25^n\left(25-1\right)=25^n.4⋮25.4=100\)
b) \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)=\left(n^2-2n\right)\left(n-1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\)
Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)⋮6\)
c) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên \(n^3-n⋮6\)
\(1.\)
\(a,\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\)
\(\left(a-b\right)^2+4ab=a^2-2ab+b^2+4ab=a^2+2ab+b^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(a-b\right)^2+4ab\left(đpcm\right)\)
a) \(x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)(luôn dương)
b) \(x^2-x+\frac{1}{2}=x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}>0\)(luôn dương)
Bài 1:
Ta có:
\(P=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\)
\(P=\left[\left(a+1\right)\left(a+4\right)\right]\cdot\left[\left(a+2\right)\left(a+3\right)\right]+1\)
\(P=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)
Đặt \(x=a^2+5a+5\) , khi đó:
\(P=\left(a-1\right)\left(a+1\right)+1\)
\(P=a^2-1+1\)
\(P=a^2=\left(x^2-5x+5\right)^2\)
Mà \(a\inℤ\Rightarrow x^2-5x+5\inℤ\)
=> P là số chính phương
\(\left(xy+yz+zx\right)^2+\left(x^2-yz\right)^2+\left(y^2-zx\right)^2+\left(z^2-xy\right)^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz\left(x+y+z\right)+x^4-2x^2yz+y^2z^2+y^4-2y^2zx+z^2x^2+z^4-2z^2xy+x^2y^2=x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=100^2=10000\)
\(M=4.6\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)\(=\left(5-1\right)\left(5+1\right)\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)
\(=\left(5^2-1\right)\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)
\(=\left(5^4-1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)\(=\left(5^8-1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)=\left(5^{16}-1\right)\left(5^{16}+1\right)=5^{32}-1\)
Vậy M <N
Câu 1: (3,0 điểm). Giải các phương trình:
a) \(3x+5=2x+2\).
\(\Leftrightarrow3x-2x=2-5\).
\(\Leftrightarrow x=-3\).
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S=\left\{-3\right\}\).
b) \(\frac{x-5}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{4}{x+1}+\frac{3}{x-2}\left(ĐKXĐ:x\ne-1;x\ne2\right)\).
\(\Leftrightarrow\frac{x-5}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{4\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}+\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}\).
\(\Rightarrow x-5=4x-8+3x+3\).
\(\Leftrightarrow x-4x-3x=-8+3+5\).
\(\Leftrightarrow-6x=0\).
\(\Leftrightarrow x=0\)(thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S=\left\{0\right\}\).
c) \(\left|x-3\right|+1=2x-7\)
- Xét \(x-3\ge0\Leftrightarrow x\ge3\). Do đó \(\left|x-3\right|=x-3\). Phương trình trở thành:
\(x-3+1=2x-7\).
\(\Leftrightarrow x-2=2x-7\).
\(\Leftrightarrow x-2x=-7+2\).
\(\Leftrightarrow-x=-5\).
\(\Leftrightarrow x=5\)(thỏa mãn).
- Xét \(x-3< 0\Leftrightarrow x< 3\)Do đó \(\left|x-3\right|=3-x\). Phương trình trở thành:
\(3-x+1=2x-7\).
\(\Leftrightarrow4-x=2x-7\).
\(-x-2x=-7-4\).
\(\Leftrightarrow-3x=-11\).
\(\Leftrightarrow x=\frac{-11}{-3}=\frac{11}{3}\)(loại).
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S=\left\{5\right\}\).
Câu 2: (2,0 điểm).
a) \(5x-5>x+15\).
\(\Leftrightarrow5x-x>15+5\).
\(\Leftrightarrow4x>20\).
\(\Leftrightarrow x>5\).
Vậy bất phương trình có tập nghiệm: \(\left\{x|x>5\right\}\).
b) \(\frac{8-4x}{3}>\frac{12-x}{5}\).
\(\Leftrightarrow\frac{5\left(8-4x\right)}{15}>\frac{3\left(12-x\right)}{15}\).
\(\Leftrightarrow40-20x>36-3x\).
\(\Leftrightarrow-20x+3x>36-40\).
\(\Leftrightarrow-17x>-4\).
\(\Leftrightarrow x< \frac{4}{17}\)\(\Leftrightarrow x< 0\frac{4}{17}\).
\(\Rightarrow\)Số nguyên x lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là: \(x=0\).
Vậy \(x=0\).
\(n^4+2n^3-13n^2-14n+24\)
\(=\left(n^4+2n^3-n^2-2n\right)-12n^2-12n+24\)
\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-12n^2-12n+24⋮6\)