Question

[Nguyễn Phương Uyên]

Chứng minh :

\(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)....2n\) \(⋮\) \(2^n\)                    \(\left(n\in N\right)\)

Answer 1

[Lê Anh Tú]

Áp dụng phương pháp quy nạp:

- Với n=1; có (1+1)=2 chia hết cho 2¹

- Giả sử với n=k thì (k+1)(k+2)...2k chia hết cho 2^k

CM: (k+1+1)(k+1+2....(2k+1) chia hết cho 2^k+1

Ta có: (k+1+1(k+1+2)...(2k+1)=(k+2)(k+3)...2k.2(k+1)=2(k+1)(k+2)...2k chia hết cho 2.2^k =2^k+1

Vậy (n+1)(n+2)(n+3)...2n chia hết cho 2n, thương là q

\(\Rightarrow p=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)....2n}{2^n}=\frac{1.2...n\left(n+1\right).\left(n+2\right)...2n}{1.2...n.2^n}=\frac{\left(2n\right)!}{n!.2n}\)

Answer 2

[Nguyễn Thị Ngọc Ánh]

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

với n=1=> ( 1+1) = 2 chia hết cho 2¹

giả sử với n=k thì (k+1)(k+2). ... . 2k chia hết cho 2^k

cần chứng minh: (k+1+1)(k+1+2). ... . 2(k+1) chia hết cho 2^k+1

Ta có:(k+1+1)(k+1+2). ... . 2(k+1)=(k+2)(k+3). ... . 2k.2(k+1)=2(k+1).(k+2). ... .2k chia hết cho 2 . 2k = 2^k+1

Vậy (n+1)(n+2). ... .2n chia hết cho 2ⁿ