Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(P=a^2+b^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\), ta được:
\(P=\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2-2ab\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với bộ \(\left(a+b\right)^2\) và \(\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\), ta có:
\(P=\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2-2ab\ge2\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2}-2ab=2\left(1+ab\right)-2ab=2\)
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11
Cho a, b khác 0. Chứng minh:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-1\ge2\left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)\)
Đặt \(\frac{a}{b}=x\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}-1>2\left(x-\frac{1}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4-2x^3-x^2+2x+1}{x^2}>0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-2\right)-x\left(x-2\right)+1>0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1>0\)
Có: \(\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp ta có:
\(\Rightarrow x\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1\ge1>0\)
Đúng không ta?
Sửa từ dòng số 6:
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-x-2\right)\left(x^2-x\right)+1\ge0\)
Đặt \(x^2-x=t\)
\(\Rightarrow\left(t-2\right)t+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow t^2-2t+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra khi ........................
"Chấm" nhẹ hóng cao nhân ạ :)
P/s: mong các bác giải theo cách lớp 8 ạ :) Tặng 5SP / 1 câu nhé ;)
3 bài thì thấy 1 bài có trên mạng rồi, buồn thật:( Bài cuối từ từ tí mở Maple lên check đề. Thấy lạ lạ không dám làm ngay:v
Bài 1: Ez game, chỉ là Buffalo Way, mà Ji Chen (tác giả BĐT Iran 96 có giải rồi, mình không giải lại): hard inequalities
Bài 2: Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{3x}{x+y+z};\frac{3y}{x+y+z};\frac{3z}{x+y+z}\right)\) rồi quy đồng lên xem.
Bài 3: Tí check đề cái đã.
Xét hiệu
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-2\) = \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-2\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)^2\) \(\ge0\)
=> \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\ge2\)
Dấu ' = ' xảy ra khi a = b