Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{n}{12}+\dfrac{n^2}{8}+\dfrac{n^3}{24}\)
\(=\dfrac{n^3+3n^2+2n}{24}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)
Ta có: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3.
Vì \(n=2k\) nên suy ra n và (n + 2) là 2 số chẵn liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 4.
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮8\)
Vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau nên: \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮24\)
Vậy ta có ĐPCM
\(A=\dfrac{n^5}{120}+\dfrac{n^4}{12}+\dfrac{7n^3}{24}+\dfrac{5n^2}{12}+\dfrac{n}{5}\)
\(=\dfrac{n^5}{120}+\dfrac{10n^4}{120}+\dfrac{35n^3}{120}+\dfrac{50n^2}{120}+\dfrac{24n}{120}\)
\(=\dfrac{n^5+10n^4+35n^3+50n^2+24n}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n^4+10n^3+35n^2+50n+24\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n^4+n^3+9n^3+9n^2+26n^2+26n+24n+24\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left[n^3\left(n+1\right)+9n^2\left(n+1\right)+26n\left(n+1\right)+24\left(n+1\right)\right]}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n^3+9n^2+26n+24\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n^3+2n^2+7n^2+14n+12n+24\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left[n^2\left(n+2\right)+7n\left(n+2\right)+12\left(n+2\right)\right]}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+7n+12\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+3n+4n+12\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left[n\left(n+3\right)+4\left(n+3\right)\right]}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{120}\)
Để A có giá trị nguyên thì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮120\)
Thật vậy, vì A là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên trong 5 số đó có 2 số chẵn liên tiếp (tích chia hết cho 8),1 số chia hết cho 3, 1 số chia hết cho 5
mà 8, 3, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên \(A=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)⋮8.3.5=120\)
Vậy A có giá trị nguyên với mọi n \(\in\) N.
`A=n/3+n^2/2+n^3/6`
`=(n^3+3n^2+2n)/6`
`=(n(n^2+3n+2))/6`
`=(n(n+1)(n+2))/6`
Vì `n(n+1)(n+2)` là tích 3 số nguyên liên tiếp
`=>n(n+1)(n+2) vdots 6`
`=>(n(n+1)(n+2))/6 in Z(forall x in Z)`
Câu A:
Ta có:
\(A=\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{2n}{6}+\frac{3n^2}{6}+\frac{n^3}{6}\)
\(=\frac{2n+3n^2+n^3}{6}\)
Xét tử : \(2n+3n^2+n^3=n(n^2+3n+2)=n(n^2+n+2n+2)\)
\(=n[n(n+1)+2(n+1)]=n(n+1)(n+2)\)
Vì \(n(n+1)(n+2)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)(n+2)\vdots 3\)
Vì $n(n+1)$ là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)\vdots 2\)
\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)\vdots 2\)
Mà \((2,3)=1\Rightarrow n(n+1)(n+2)\vdots (2.3=6)\)
Do đó: \(A=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\in\mathbb{Z}\)
Ta có đpcm.
Câu B:
Ta có:
\(B=\frac{n^4}{24}+\frac{6n^3}{24}+\frac{11n^2}{24}+\frac{6n}{24}\)\(=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}\)
Xét mẫu:
\(n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n^3+6n^2+11n+6)\)
\(=n[n^2(n+1)+5n(n+1)+6(n+1)]\)
\(=n(n+1)(n^2+5n+6)=n(n+1)[n^2+2n+3n+6]\)
\(=n(n+1)[n(n+2)+3(n+2)]\)
\(=n(n+1)(n+2)(n+3)\)
Vì $n(n+1)(n+2)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)(n+2)\vdots 3\)
\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots 3\)
Vì $n,n+1,n+2,n+3$ là 4 số nguyên liên tiếp nên trong đó chắc chắn có một số chia $4$ dư $2$ , một số chia hết cho $4$
\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots (2.4=8)\)
Mà $(3,8)=1$ nên \(n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots (8.3=24)\)
Do đó: \(B=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}\in\mathbb{Z}\) (đpcm)
2.
\(4n^3+n+3=4n^3+2n^2+2n-2n^2-n-1+4=2n\left(2n^2+n+1\right)-\left(2n^2+n+1\right)+4\)-Để \(\left(4n^3+n+3\right)⋮\left(2n^2+n+1\right)\) thì \(4⋮\left(2n^2+n+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2n^2+n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\) (do n là số nguyên)
*\(2n^2+n+1=1\Leftrightarrow n\left(2n+1\right)=0\Leftrightarrow n=0\) (loại) hay \(n=\dfrac{-1}{2}\) (loại)
*\(2n^2+n+1=-1\Leftrightarrow2n^2+n+2=0\) (phương trình vô nghiệm)
\(2n^2+n+1=2\Leftrightarrow2n^2+n-1=0\Leftrightarrow n^2+n+n^2-1=0\Leftrightarrow n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n+1\right)\left(2n-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow n=-1\) (loại) hay \(n=\dfrac{1}{2}\) (loại)
\(2n^2+n+1=-2\Leftrightarrow2n^2+n+3=0\) (phương trình vô nghiệm)
\(2n^2+n+1=4\Leftrightarrow2n^2+n-3=0\Leftrightarrow2n^2-2n+3n-3=0\Leftrightarrow2n\left(n-1\right)+3\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(2n+3\right)=0\)\(\Leftrightarrow n=1\left(nhận\right)\) hay \(n=\dfrac{-3}{2}\left(loại\right)\)
-Vậy \(n=1\)
1. \(x^2+y^2=z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-z^2=0\)
\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(x+z\right)+y^2=0\)
-TH1: y lẻ \(\Rightarrow x-z;x+z\) đều lẻ.
\(x+3z-y=x+z-y+2x\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.
-TH2: y chẵn \(\Rightarrow\)1 trong hai biểu thức \(x-z;x+z\) chia hết cho 2.
*Xét \(\left(x-z\right)⋮2\):
\(x+3z-y=x-z+4z-y\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.
*Xét \(\left(x+z\right)⋮2\):
\(x+3z-y=x+z+2z-y\) chia hết cho 2 \(\Rightarrow\)Hợp số.
\(\left\{{}\begin{matrix}s_1=\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}z\\s_2=\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}y\\s_3=\dfrac{a}{c}z+\dfrac{b}{c}y\\x+y+z=5\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}s_1+s_2+s_3=\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)x+\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)y+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)z\\a,b,c\in N\left(sao\right)\\\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2;\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)\ge2;\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge2\\x+y+z=5\end{matrix}\right.\)
\(s_1+s_2+s_3\ge2x+2y+2z\ge2\left(x+y+z\right)=2.5=10\)
5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)
áp dụng bđ cosy
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
=> đpcm
6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt
7.áp dụng bđt cosy
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)