Question

[Trịnh Thị Quyên]

Cho đường tròn tâm O và dây ab không đi qua O.lấy điểm C,DE thuộc AB thoả mãn AC=CD=DE=EB các tia OC,OD,OE cắt (O) lần lượt tại M,N,Q .Chứng minh dây cung AM=dây cung QB,dây cung MN=dây cung NQ.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

sđ cung AD=sđ cung AC+sđ cung CD

sđ cung DB=sđ cung DE+sđ cung EB

mà sđ cung AC=sđ cung DE và sđ cung CD=sđ cung EB

nên sđ cung AD=sđ cung DB

=>DA=DB

mà OA=OB

nên OD là đường trung trực của AB

=>OD⊥AB

Ta có: sđ cung DC=sđ cung DE

=>DC=DE

mà OC=OE

nên OD là đường trung trực của CE

=>OD⊥CE
mà OD⊥AB

nên CE//AB

Xét tứ giác CQME có

O là trung điểm chung của CM và QE

=>CQME là hình bình hành

=>CE//QM

mà CE//AB

nên AB//QM

=>ABMQ là hình thang

=>\(\hat{BAQ}+\hat{AQM}=180^0\) (1)

Xét (O) có A,B,M,Q cùng thuộc một đường tròn theo thứ tự

nên ABMQ là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BAQ}+\hat{BMQ}=180^0\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{AQM}=\hat{BMQ}\)

=>ABMQ là hình thang cân

=>AM=BQ

Ta có: sđ cung CD=sđ cung DE

=>\(\hat{COD}=\hat{DOE}\)

mà \(\hat{COD}=\hat{NOM}\) (hai góc đối đỉnh)

và \(\hat{DOE}=\hat{QON}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\hat{NOM}=\hat{QON}\)

Xét (O) có

\(\hat{NOM}\) là góc ở tâm chắn cung NM

\(\hat{QON}\) là góc ở tâm chắn cung QN

\(\hat{NOM}=\hat{QON}\)

Do đó: sđ cung NM=sđ cung QN

=>NM=QN