Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mình ghi nhầm thui với lại bạn này gửi ngược ảnh, mình dùng máy tính không xem được
1.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{a}{2a+a+b+c}=\dfrac{a}{25}.\dfrac{\left(2+3\right)^2}{2a+a+b+c}\le\dfrac{a}{25}\left(\dfrac{2^2}{2a}+\dfrac{3^2}{a+b+c}\right)=\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a}{a+b+c}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b}{3b+a+c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{b}{a+b+c}\)
\(\dfrac{c}{a+b+3c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{c}{a+b+c}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{6}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=\dfrac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
2.
Đặt \(\dfrac{x}{x-1}=a;\dfrac{y}{y-1}=b;\dfrac{z}{z-1}=c\)
Ta có: \(\dfrac{x}{x-1}=a\Rightarrow x=ax-a\Rightarrow a=x\left(a-1\right)\Rightarrow x=\dfrac{a}{a-1}\)
Tương tự ta có: \(y=\dfrac{b}{b-1}\) ; \(z=\dfrac{c}{c-1}\)
Biến đổi giả thiết:
\(xyz=1\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}=1\)
\(\Rightarrow abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=a+b+c-1\)
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(a^2+b^2+c^2\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(a+b+c-1\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
a/ x3 + x2 z + y2 z - xyz + y3
= (x + y)(x2 - xy + y2) + z(x2 - xy + y2)
= (x2 - xy + y2)(x + y + z)
Bạn tự tách hđt nhé! Gõ mỏi tay :v~
\(\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2=\left(y+z-2x\right)^2+\left(z+x-2y\right)^2+\left(y+z-2z\right)^2\)
⇔ \(y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2+x^2-2xy+y^2=\)\(6(z^2-yz-xz+y^2-xy+x^2)\)
⇔ \(2\left(x^2+y^2+z^2-yz-xz-xy\right)\)=\(6(z^2-yz-xz+y^2-xy+x^2)\)
⇔ \(x^2+y^2+z^2-yz-xz-xy\) = \(3(z^2-yz-xz+y^2-xy+x^2)\)
⇔ \(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz=0\)
⇔ \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\)
Mà \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;y;z\)
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=z\\z=x\end{matrix}\right.\)
⇒ \(x=y=z\)
j lắm thế :)))
Bài 2 : ~ bài 1 ngán quá =)))
a, Có
\(5x^2+10y^2-6xy-4x-2y+3\)
\(=\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(4x^2-4x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+1\)
\(=\left(x-3y\right)^2+\left(2x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+1>0\forall x;y\)
Do đó không tồn tại x , y tm \(5x^2+10y^2-6xy-4x-2y+3=0\)
b, \(x^2+4y^2+z^2-2x-6x+6y+15=0\)
Câu này đề sai :v bài ngta không cho 2 lần x vậy đâu bạn :)))
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
Với $a,b,c>0$ thì $a^3+b^3+3abc> ab(a+b+c)$ chứ không có dấu "=" nhé bạn. Còn về cách làm thì bạn Trương Huy Hoàng đã làm rất chi tiết rồi.
a3 + b3 + 3abc \(\ge\) ab(a + b + c)
\(\Leftrightarrow\) a3 + b3 + 3abc - a2b - ab2 - abc \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) a3 + b3 + 2abc - a2b - ab2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) a2(a - b) - b2(a - b) + 2abc \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a - b)(a2 - b2) + 2abc \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a - b)2(a + b) + 2abc \(\ge\) 0 (luôn đúng với mọi a, b, c > 0)
Chúc bn học tốt!
Câu a : Ta có : \(x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2z+y^2z-xyz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\) ( đpcm )
Câu b : \(VT=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-a^3-b^3-c^3\)
\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=VP\)
Câu c : Ta có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\) ( đúng )