Question

[Pham Minh Thu]

chứng minh căn 15 là số vô tỷ, căn 7 là số vô tỉ.

Answer 1

[Ngô Bảo Châu]

Gỉa sử \(\sqrt{15}\) là số hữu tỉ

=> \(\sqrt{15}=\frac{m}{n}\)( trong đó \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản)=> \(15=\frac{m^2}{n^2}\) hay \(15n^2=m^2\)(1)

Từ (1) => \(m^2\) chia hết cho 15 => m chia hết 15

Đặt m=15k( \(k\in Z\))=> \(m^2=225k^2\)(2)

Tứ (1);(2)=> \(15n^2=225k^2\)=> \(n^2=15k^2\)(3)

Từ (3) => \(n^2\)chia hết cho 15 => n chia hết cho 15 

=> \(\frac{m}{n}\)không phải là phân số tối giản trái với giả thiết => \(\sqrt{15}\)không phải là số hửu tỉ 

Vậy \(\sqrt{15}\)là số vô tỉ(dpcm)

Answer 2

[pham poi]

​Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ, như vậy có thể viết dưới dạng phân số tối giản \({m\over n}\) tức là \(\sqrt{7} = {m \over n}\) . Suy ra \(7={m^2 \over n^2}\) hay \(7m^2=n^2\) (1)

Đảng thức (1) chứng tỏ \(m^2\vdots7\) mà 7 là số nguyên tố nên \(m\vdots7\) .

Đặt\(m=7k\)  (k∈ℤ) ta có \(m^2=49k^2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(7n^2=49k^2\) nên \(n^2=7k^2\)  (3)

Từ (3) ta lại có \(n^2\vdots7\) và vì 7 là số nguyên tố nên \(n\vdots7\) .

Như vậy m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số \({m \over n}\) không tối giản, trái với giả thiết. Vậy \(\sqrt{7}\) không phải là số hữu tỉ, do đó \(\sqrt7\) là số vô tỉ