Question

[Vũ Thị Thuỳ Lâm]

Chứng minh các phân số là phân số tối giản : \(\frac{n+1}{2n+3}\); \(\frac{8n+5}{6n+4}\)

Answer 1

[Xyz OLM]

a)Gọi ƯCLN(n + 1 ; 2n + 3) = d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d}\)

\(\Rightarrow\)\(1⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)\Rightarrow d\in\left\{\pm1\right\}\)

=> n + 1 ; 2n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản

b) Gọi ƯCLN(8n + 5 ; 6n + 4) = d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}8n+5⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(8n+5\right)⋮d\\4\left(6n+4\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}24n+15⋮d\\24n+16⋮d\end{cases}\Rightarrow}\left(24n+16\right)-\left(24n+15\right)⋮d}\)

\(\Rightarrow\)\(1⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)\Rightarrow d\in\left\{\pm1\right\}\)

=> 8n + 5 ; 6n + 4 là 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\frac{8n+5}{6n+4}\)là phân số tối giản