K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

24 tháng 9 2023

Tham khảo:

a) 

Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \). Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \cos \alpha \\y = \sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}\alpha  = {x^2}\\{\sin ^2}\alpha  = {y^2}\end{array} \right.\)(1)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = ON\\\left| y \right| = OP = MN\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left| x \right|^2} = O{N^2}\\{y^2} = {\left| y \right|^2} = M{N^2}\end{array} \right.\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = O{N^2} + M{N^2} = O{M^2}\) (do \(\Delta OMN\) vuông tại N)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) (vì OM =1). (đpcm)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023

b) 

Ta có:  \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\;\;(\alpha  \ne {90^o})\)

\( \Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Mà theo ý a) ta có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) với mọi góc \(\alpha \)

\( \Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) (đpcm)

c) 

Ta có:  \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\;\;\;({0^o} < \alpha  < {180^o})\)

\( \Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

Mà theo ý a) ta có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) với mọi góc \(\alpha \)

\( \Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) (đpcm)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
25 tháng 9 2023

a) 

Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm M sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \)

Gọi H, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.

 

Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và \(\alpha  = \widehat {xOM}\)

Do đó: \(\sin \alpha  = \frac{{MH}}{{OM}} = MH;\;\cos \alpha  = \frac{{OH}}{{OM}} = OH.\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = O{H^2} + M{H^2} = O{M^2} = 1\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\\ \Rightarrow \;\tan \alpha .\cot \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\end{array}\)

c) Với \(\alpha  \ne {90^o}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\;\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\\ \Rightarrow \;1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\;\end{array}\)

d) Ta có:

\(\begin{array}{l}\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\;\\ \Rightarrow \;1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\;\end{array}\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
25 tháng 9 2023

a) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\sin \alpha \) ta có:

\(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) với \(\alpha  = {60^o}\) và \(\alpha  = {120^o}\)

b) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\cos \alpha \) ta có:

\(\cos \alpha  = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\) với \(\alpha  = {135^o}\)

c) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\tan \alpha \) ta có:

\(\tan \alpha  =  - 1\) với \(\alpha  = {135^o}\)

d) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\cot \alpha \) ta có:

\(\cot \alpha  =  - \sqrt 3 \) với \(\alpha  = {150^o}\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
25 tháng 9 2023

a) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\cos \alpha \) ta có:

\(\cos \alpha  = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\) với \(\alpha  = {135^o}\)

b) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\sin \alpha \) ta có:

\(\sin \alpha  = 0\) với \(\alpha  = {0^o}\) và \(\alpha  = {180^o}\)

c) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\tan \alpha \) ta có:

\(\tan \alpha  = 1\) với \(\alpha  = {45^o}\)

d) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\cot \alpha \) ta có:

\(\cot \alpha \) không xác định với \(\alpha  = {0^o}\) hoặc \(\alpha  = {180^o}\) 

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023

a) Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}\sin {100^o} = \sin \left( {{{180}^o} - {{80}^o}} \right) = \sin {80^o}\\\cos {164^o} = \cos \left( {{{180}^o} - {{16}^o}} \right) =  - \cos {16^o}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o}\)\( = \sin {80^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o}-\cos {16^o}\)\( = 2\sin {80^o}.\)

b) 

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array} \right.\quad ({0^o} < \alpha  < {90^o})\)\( \Rightarrow 2\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\cot \alpha  - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\tan \alpha .\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\) \( = 2\sin \alpha .\cot \alpha  - \left( { - \cos \alpha } \right).\tan \alpha .\left( { - \cot \alpha } \right)\)\( = 2\sin \alpha .\cot \alpha  - \cos \alpha .\tan \alpha .\cot \alpha \)

\( = 2\sin \alpha .\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \cos \alpha .\left( {\tan \alpha .\cot \alpha } \right)\)\( = 2\cos \alpha  - \cos \alpha .1 = \cos \alpha .\)

NV
8 tháng 6 2020

\(a=\left(\frac{sina+\frac{sina}{cosa}}{cosa+1}\right)^2+1=\left(\frac{sina\left(cosa+1\right)}{cosa\left(cosa+1\right)}\right)^2+1\)

\(=tan^2a+1=\frac{1}{cos^2a}\)

\(b=\frac{sina}{cosa}\left(\frac{1+cos^2a-sin^2a}{sina}\right)=\frac{sina}{cosa}\left(\frac{2cos^2a}{sina}\right)=2cosa\)

\(c=1-\frac{cos^2a}{cot^2a}+\frac{sina.cosa}{\frac{cosa}{sina}}=1-cos^2a.\frac{sin^2a}{cos^2a}+\frac{sin^2a.cosa}{cosa}\)

\(=1-sin^2a+sin^2a=1\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 10 2018

a)

\(\sin ^4a-\cos ^4a+1=(\sin ^2a-\cos ^2a)(\sin ^2a+\cos^2a)+1\)

\(=(\sin ^2a-\cos ^2a).1+1=\sin ^2a-\cos ^2a+\sin ^2a+\cos ^2a\)

\(=2\sin ^2a\)

b) \(\sin ^2a+2\cos ^2a-1=(\sin ^2a+\cos^2a)+\cos ^2a-1\)

\(=1+\cos ^2a-1=\cos ^2a\)

\(\Rightarrow \frac{\sin ^2a+2\cos ^2a-1}{\cot ^2a}=\frac{\cos ^2a}{\cot ^2a}=\frac{\cos ^2a}{\frac{\cos ^2a}{\sin ^2a}}=\sin ^2a\)

c)

\(\frac{1-\sin ^2a\cos ^2a}{\cos ^2a}-\cos ^2a=\frac{1}{\cos ^2a}-\sin ^2a-\cos ^2a\)

\(=\frac{1}{\cos ^2a}-(\sin ^2a+\cos ^2a)=\frac{1}{\cos ^2a}-1\)

\(=\frac{1-\cos ^2a}{\cos ^2a}=\frac{\sin ^2a}{\cos ^2a}=\tan ^2a\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 10 2018

d)

\(\frac{\sin ^2a-\tan ^2a}{\cos ^2a-\cot ^2a}=\frac{\sin ^2a-\frac{\sin ^2a}{\cos ^2a}}{\cos ^2a-\frac{\cos ^2a}{\sin ^2a}}\) \(=\frac{\sin ^2a(1-\frac{1}{\cos ^2a})}{\cos ^2a(1-\frac{1}{\sin ^2a})}\)

\(=\frac{\sin ^2a.\frac{\cos ^2a-1}{\cos ^2a}}{\cos ^2a.\frac{\sin ^2a-1}{\sin ^2a}}\) \(=\frac{\sin ^2a.\frac{-\sin ^2a}{\cos ^2a}}{\cos ^2a.\frac{-\cos ^2a}{\sin ^2a}}=\frac{\sin ^6a}{\cos ^6a}=\tan ^6a\)

f)

\(\frac{(\sin a+\cos a)^2-1}{\cot a-\sin a\cos a}=\frac{\sin ^2a+\cos ^2a+2\sin a\cos a-1}{\frac{\cos a}{\sin a}-\sin a\cos a}\)

\(=\sin a.\frac{1+2\sin a\cos a-1}{\cos a-\cos a\sin ^2a}\)

\(=\sin a. \frac{2\sin a\cos a}{\cos a(1-\sin ^2a)}=\sin a. \frac{2\sin a\cos a}{\cos a. \cos^2 a}=\frac{2\sin ^2a}{\cos ^2a}=2\tan ^2a\)

Bài 1) Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa) :B= \(\sqrt{2}-\frac{1}{sin\left(x+2013\pi\right)}\cdot\sqrt{\frac{1}{1+cosx}+\frac{1}{1-cosx}}\) với \(\pi x 2\pi\) Bài 2) Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc \(\alpha\) biết: a) \(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)và 90 < \(\alpha\) < 180 b) \(\cos\alpha=\frac{-2}{3}\left(\pi \text{​​}\alpha \frac{3\pi}{2}\right)\) Bài 3) a) Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc...
Đọc tiếp

Bài 1) Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa) :B= \(\sqrt{2}-\frac{1}{sin\left(x+2013\pi\right)}\cdot\sqrt{\frac{1}{1+cosx}+\frac{1}{1-cosx}}\) với \(\pi< x< 2\pi\)

Bài 2) Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc \(\alpha\) biết:
a) \(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)và 90 < \(\alpha\) < 180

b) \(\cos\alpha=\frac{-2}{3}\left(\pi< \text{​​}\alpha< \frac{3\pi}{2}\right)\)

Bài 3) a) Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc \(\alpha\), biết sin\(\alpha\) =\(\frac{1}{5}\) và tan\(\alpha\)+cot\(\alpha\) < 0
b) Cho \(3\sin^4\alpha-cos^4\alpha=\frac{1}{2}\). Tính giá trị biểu thức A=\(2sin^4\alpha-cos\alpha\)
Bài 4) a) Cho \(\cos\alpha=\frac{2}{3}\) Tính giá trị biểu thức: A=\(\frac{tan\alpha+3cot\alpha}{tan\alpha+cot\alpha}\)

b) Cho \(\tan\alpha=3\) Tính giá trị biểu thức: B=\(\frac{sin\alpha-cos\alpha}{sin^3\alpha+3cos^3\alpha+2sin\alpha}\)

c) Cho \(\cot\alpha=\sqrt{5}\) Tính giá trị biểu thức: C=\(sin^2\alpha-sin\alpha\cdot cos\alpha+cos^2\alpha\)

Bài 5) Chứng minh các hệ thức sau:

a) \(\frac{1+sin^4\alpha-cos^4\alpha}{1-sin^6\alpha-cos^6\alpha}=\frac{2}{3cos^2\alpha}\)

b) \(\frac{sin^2\alpha\left(1+cos\alpha\right)}{cos^2\alpha\left(1+sin\alpha\right)}=\frac{sin\alpha+tan\alpha}{cos\alpha+cot\alpha}\)

c) \(\frac{tan\alpha-tan\beta}{cot\alpha-cot\beta}=tan\alpha\cdot tan\beta\)

d) \(\frac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cot^2\alpha-tan^2\alpha}=sin^2\alpha\times cos^2\alpha\)

Bài 6) Cho \(cos4\alpha+2=6sin^2\alpha\) với \(\frac{\pi}{2}< \alpha< \pi\). Tính \(\tan2\alpha\)

Bài 7) Cho \(\frac{1}{tan^2\alpha}+\frac{1}{cot^2\alpha}+\frac{1}{sin^2\alpha}+\frac{1}{\cos^2\alpha}=7\). Tính \(\cos4\alpha\)

Bài 8) Chứng minh các biểu thức sau:

a) \(\sin\alpha\left(1+cos2\alpha\right)=sin2\alpha cos\alpha\)

b) \(\frac{1+sin2\alpha-cos2\alpha}{1+sin2\alpha+cos2\alpha}=tan\alpha\)

c) \(tan\alpha-\frac{1}{tan\alpha}=-\frac{2}{tan2\alpha}\)

Bài 9) Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) sinA + sinB + sinC = \(4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\)

b) \(sin^2A+sin^2B+sin^2C=2\left(1+cosAcosBcosC\right)\)

Bài 10) Chứng minh trong mọi tam giác ABC không vuông ta đều có:

a) \(tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC\)

b) \(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1\)

Bài 11) Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) \(tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}=1\)

b) \(cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}=cot\frac{A}{2}cot\frac{B}{2}cot\frac{C}{2}\)

1
30 tháng 4 2019

Help help. Tui thật sự ngu lượng giác huhu

24 tháng 9 2023

\(P=\dfrac{2sin\alpha-3cos\alpha}{3sin\alpha+2cos\alpha}\\ =\dfrac{\dfrac{2sin\alpha}{cos\alpha}-\dfrac{3cos\alpha}{cos\alpha}}{\dfrac{3sin\alpha}{cos\alpha}+\dfrac{2cos\alpha}{cos\alpha}}\\ =\dfrac{2tan\alpha-3}{3tan\alpha+2}=\dfrac{2.3-3}{3.3+2}=\dfrac{3}{11}\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023

Ta có: \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\quad (\alpha  \ne {90^o})\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {3^2} = 10\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)

Vì \({0^o} < \alpha  < {180^o}\) nên \(\sin \alpha  > 0\).

Mà \(\tan \alpha  = 3 > 0 \Rightarrow \cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)

Lại có: \(\sin \alpha  = \cos \alpha .\tan \alpha  = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.3 = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}.\)

\( \Rightarrow P = \dfrac{{2.\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} - 3.\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}}}{{3.\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} + 2.\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}}} = \dfrac{{\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\left( {2.3 - 3} \right)}}{{\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\left( {3.3 + 2} \right)}} = \dfrac{3}{{11}}.\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 2 2019

Bạn xem lại biểu thức A. Biểu thức $A$ sau khi rút gọn thì \(A=\frac{-2\sin ^2a}{3\cos 2a}\) vẫn phụ thuộc vào $a$

------------

Sử dụng công thức: \(\sin (90-a)=\cos a; \cot (90-a)=\tan a\), ta có:

\(B=\tan ^260(\sin ^8a-\cos ^8a)+4\cos 60(\cos ^6a-\sin ^6a)-\cos ^6a(\tan ^2a-1)^3\)

\(=3(\sin ^8a-\cos ^8a)+2(\cos ^6a-\sin ^6a)-\cos ^6a\left(\frac{\sin ^2a}{\cos ^2a}-1\right)^3\)

\(=3(\sin ^8a-\cos ^8a)+2(\cos ^6a-\sin ^6a)-(\sin ^2a-\cos ^2a)^3\)

\(=3(\sin ^2a-\cos ^2a)(\sin ^2a+\cos ^2a)(\sin ^4a+\cos ^4a)+2(\cos ^2a-\sin ^2a)(\cos ^4a+\sin ^2a\cos ^2a+\sin ^4a)-(\sin ^2a-\cos ^2a)^3\)

\(=3(\sin ^2-\cos ^2a)(\sin ^4a+\cos ^4a)-2(\sin ^2a-\cos ^2a)(\cos ^4a+\sin ^2a\cos ^2a+\sin ^4a)-(\sin ^2a-\cos ^2a)^3\)

\(=(\sin ^2a-\cos ^2a)[3(\sin ^4a+\cos ^4a)-2(\cos ^4a+\sin ^2a\cos ^2a+\sin ^4a)-(\sin ^2a-\cos ^2a)^2]\)

\(=(\sin ^2a-\cos ^2a).0=0\). Do đó giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào $a$

8 tháng 7 2023

Giải câu a đi ạ