Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, 1 + 2 + 3 + ... + n = \(\left[\frac{n-1}{1}+1\right]\left[n+1\right]\)
1 + 3 + 5 + 7 + ... + [2n-1] = \(\left[\frac{2n-1-1}{2}+1\right]\left[2n-1+1\right]\)
b, A = 1.2+2.3+3.4+...+n[n+1]
=> 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + n[n+1].3
Mà: 1.2.3 = 1.2.3 - 0.1.2
2.3.3 = 2.3.4 - 1.2.3
.......................................
n[n+1].3 = n[n+1][n+2] - [n-1]n[n+1]
=> 3A = [n-1]n[n+1]
=> A = \(\frac{\left[n-1\right]n\left[n+1\right]}{3}\)
1.2.3.+2.3.4+...+n[n+1][n+2]
4A = 1.2.3.[4-0] + 2.3.4.[5-1] + .... + n[n+1][n+2].[[n+3] - [n-1]]
4A = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 +...+ n[n+1][n+2][n+3] - n[n+1][n+2][n-1]
4A = 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4. 5 - 2.3.4.5 + ... + n[n+1][n+2][n+3] - n[n+1][n+2][n+3] + n[n+1][n+2][n-1]
4A = n[n+1][n+2][n-1]
A = \(\frac{\text{n[n+1][n+2][n-1]}}{4}\)
Ta có :
\(A=\frac{1.2-1}{2!}+\frac{2.3-1}{3!}+...+\frac{\left(n-1\right)n-1}{n!}\)
\(=\frac{1.2}{2!}-\frac{1}{2!}+\frac{2.3}{3!}-\frac{1}{3!}+\frac{3.4}{4!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{\left(n-1\right)n}{n!}-\frac{1}{n!}\)
\(=1-\frac{1}{2!}+1-\frac{1}{3!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{4}!+\frac{1}{3!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{4!}-...+\frac{1}{\left(n-2\right)!}-\frac{1}{n!}\)
\(=2-\frac{1}{n!}< 2\)
Vậy ...
a)
*\(1+2+3+...+\left(n-1\right)+n\)
Số số hạng là:
\(\left(n-1\right):1+1=n-1+1=n\)(số hạng)
Tổng của dãy số là:
\(\left(n+1\right)\cdot\dfrac{n}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)
*\(1+3+5+...+\left(2n-1\right)\)
Số số hạng của dãy số là:
\(\left(2n-1-1\right):2+1=\dfrac{\left(2n-2\right)}{2}+1=n-1+1=n\)(số hạng)
Tổng của dãy số là:
\(\left(2n-1+1\right)\cdot\dfrac{n}{2}=\dfrac{2n^2}{2}=2n\)
\(3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+3}+2^{n+2}\)
\(=3^n.27+3^n.3+2^n.8+2^n.4\)
\(=3^n\left(27+3\right)+2^n\left(8+4\right)\)
\(=3^n.30+2^n.12⋮6\left(dpcm\right)\)
a)
S=1.2+2.3+3.4+.............+n(n+1)
=1(1+1) + 2(2+1) + 3(3+1) +...+n(n+1)
=(1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2) + (1 + 2 + 3 + ...+ n)
ta có các công thức:
1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
1 + 2 + 3 + ...+ n = n(n+1)/2
thay vào ta có:
S = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
=n(n+1)/2[(2n+1)/3 + 1]
=n(n+1)(n+2)/3
b)
Chỉnh lại đề nhé:
1 +2 + 3 + 4 +.......+ n = n(1 + n)/2
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học
Với n = 1, ta có:
1 = (1 + 1)/2 (đúng)
Giả sử mệnh đề đúng với n = k >= 1 (k thuộc N*), tức là:
1 + 2 + 3 + 4 +.......+ k = k(1 + k)/2
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là:
1 + 2 + 3 + 4 + .......+ k +1 = (k + 1)(k + 2)/2 (*)
Biến đổi tương đương, ta có:
(*) <=> 1 + 2 + 3 + 4 +......+ k + k + 1 = (k + 1)(k + 2)/2
<=> (1 + 2 + 3 + 4 +......+ k) + k + 1 = (k + 1)(k + 2)/2
<=> k(k + 1)/2 + k + 1 = (k + 1)(k + 2)/2
<=> (k + 1)(k/2 + 1) = (k + 1)(k + 2)/2 (đúng)
Đẳng thức trên đúng
Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được mệnh đề:
1 +2 + 3 + 4 +.......+ n = n(1 + n)/2
c)
S₁ = 1 + 2 + 3 +....+ n = n(n+1)/2 (1)
S₂ = 1² + 2² + 3² + 4² + ...+ n²
ta có:
1³ = (1 + 0)³ = 1
2³ = (1 + 1)³ = 1 + 3.1 + 3.1² + 1³
3³ = (1 + 2)³ = 1 + 3.2 + 3.2² + 2³
...........
(1 + n)³ = 1 + 3.n + 3.n² + n³
cộng theo vế được:
(1 + n)³ = (n + 1) + 3(S₁) + 3(S₂) = (n + 1) + 3n(n+1)/2 + 3(S₂)
=> S₂ = [2(1 + n)³ - 2(n + 1) - 3n(n+1)]/6 = (n+1)[2(1 + 2n + n²) - 2 - 3n]/6
= (n + 1)(2n² + n )/6 = n(n + 1)(2n +1)/6
-----------
sử dụng qui nạp:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ n² = n(n+1)(2n+1)/6 (*)
(*) đúng khi n= 1
giả sử (*) đúng với n= k, ta có:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² = k(k+1)(2k+1)/6 (1)
ta cm (*) đúng với n = k +1, thật vậy từ (1) cho ta:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² + (k + 1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k + 1)²
= (k+1)[k(2k + 1)/6 + (k + 1)] = (k + 1)(2k² + k + 6k + 6)/6
= (k + 1)(2k² + 7k + 6)/6 = (k + 1)(2k² + 4k + 3k + 6)/6
= (k + 1)[2k(k +2)+ 3(k + 2)]/6 = (k + 1)(k + 2)(2k+ 3)/6
vậy (*) đúng với n = k + 1, theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n thuộc N*