Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
VD1 : tanx≤4xπ∀x∈[0;π4]tanx≤4xπ∀x∈[0;π4]
Xét f(x)=tanx−4xπf(x)=tanx−4xπ
f′(x)=tan2x+1−4πf′(x)=tan2x+1−4π
f′′(x)=2tanx.1cos2x>0∀x∈[0;π4]f″(x)=2tanx.1cos2x>0∀x∈[0;π4]
Suy ra pt f′(x)=0f′(x)=0 có không quá 1 nghiệm thuộc [0;π4][0;π4]
Do đó f(x) đạt giá trị lớn nhất tại cực biên là khi x=0x=0 hoặc x=π4x=π4.
thay vào ta có max[0;π/4]f(x)=0max[0;π/4]f(x)=0
f(x)≤0⇔tanx≤4xπ∀x∈[0;π4]
g'(x) là đạo hàm của g(x) phải không bạn? Xét đạo hàm tới 2 lần lận à?
a) Xét hàm số f(x) = tanx − sinx trên nửa khoảng [0; π/2);
x ∈ [0;1/2)
Dấu “=” xảy ra khi x = 0.
Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; π/2)
Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tanx – sinx > 0 hay tanx > sinx với mọi x ∈ [0; 1/2)
b) Xét hàm số h(x) trên [0; + ∞ )
Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞ ).
Vì h(x) = 0 nên
Hay
Xét hàm số trên f(x) trên [0; + ∞ );
Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞ ) nên g(x) ≥ 0, tức là f′(x) ≥ 0 trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .
Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên
Với mọi 0 < x < + ∞ .
Lời giải:
BPT cần chứng minh tương đương \(2\sin x+\tan x-3x>0\)
Xét hàm \(f(x)=2\sin x+\tan x-3x\rightarrow f'(x)=2\cos x+\frac{1}{\cos^2 x}-3\)
Đặt \(\cos x=t\Rightarrow t\in (0;1)\)
Ta có \(f'(x)=2t+\frac{1}{t^2}-3=\frac{(t-1)(2t^2-t-1)}{t^2}>0\forall t\in (0;1)\)
Do đó \(f(x)\) luôn đồng biến với mọi \(x\in \left (0;\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\Rightarrow f(x)>f(0)=0\). Ta có đpcm.
Xét hàm số f(x) = tanx − sinx trên nửa khoảng [0; π /2);
x ∈ [0;1/2)
Dấu “=” xảy ra khi x = 0.
Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; π /2)
Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tanx – sinx > 0 hay tanx > sinx với mọi x ∈ [0; 1/2)
Xét hàm số y = f(x) = tanx – x trên khoảng (0; π/2)
Ta có: y’ = 
> 0 với ∀ x ∈ R.
⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2)
⇒ f(x) > f(0) = 0 với ∀ x > 0
hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ (0; π/2)
⇔ tan x > x với ∀ x ∈ (0; π/2) (đpcm).
Xét hàm số y = g(x) = tanx - x - 
trên 
Theo kết quả câu a): tanx > x ∀ x ∈ 
⇒ g'(x) > 0 ∀ x ∈ 
⇒ y = g'(x) đồng biến trên 
⇒ g(x) > g(0) = 0 với ∀ x ∈ 
a) Xét hàm số y = f(x) = tanx – x với x ∈ [0 ;
).
Ta có : y’ =
- 1 ≥ 0, x ∈ [0 ; 
); y’ = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ; 
).
Từ đó ∀x ∈ (0 ;
) thì f(x) > f(0) ⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0 hay tanx > x.
b) Xét hàm số y = g(x) = tanx – x -
. với x ∈ [0 ; 
).
Ta có : y’ =
- 1 - x2 = 1 + tan2x - 1 - x2 = tan2x - x2
= (tanx - x)(tanx + x), ∀x ∈ [0 ;
).
Vì ∀x ∈ [0 ;
) nên tanx + x ≥ 0 và tanx - x >0 (theo câu a).
Do đó y' ≥ 0, ∀x ∈ [0 ;
).
Dễ thấy y' = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ;
). Từ đó : ∀x ∈ [0 ; 
) thì g(x) > g(0) ⇔ tanx – x - 
> tan0 - 0 - 0 = 0 hay tanx > x + 
.