NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HN
2
13 tháng 12 2017
\(x^4-6x^2+15\)
\(=\left(x^2\right)^2-2.3.x^2+9+6\)
\(=\left(x^2-3\right)^2+6\ge6\forall x\)
Vậy \(x^4-6x^2+15\) luôn dương.
LT
13 tháng 12 2017
x4-6x2+15 = (x2)2 - 2.3.x2 +32+6
= (x2-3)2 +6
vì (x2-3)2 ≥ 0 ,∀ x.
⇒ (x2-3)2 +6 ≥ 6
Vậy x4-6x2+15 ≥ 6 hay x4-6x2+15 luôn dương
19 tháng 7 2017
\(\dfrac{-1}{4}x^2+x-3=-\left(\dfrac{1}{4}x^2-x+3\right)\)
\(=-\left(\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}.x.2+1+2\right)\)
\(=-\left[\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)^2+2\right]=-\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)^2-2\le-2\)
\(\Rightarrow\)Biểu thức trên luôn âm ( đpcm )
1 tháng 12 2016
\(x^2+x+1=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)( luôn dương ) (1 )
\(x^2-x+1=x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)( luôn dương ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\ge\frac{3}{4}:\frac{3}{4}\ge1\)( luôn dương ) ( đpcm )
1 tháng 12 2016
\(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\)
=\(\frac{x^2+2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1}{x^2-2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1}\)
=\(\frac{\left(x+1\right)^2+\frac{3}{4}}{\left(x-1\right)^2+\frac{3}{4}}\)vì tử số và mẫu số luôn dương => với mọi x luôn dương
14 tháng 7 2017
1) \(\left(x-3\right)\left(x-5\right)+44\)
\(=x^2-3x-5x+15+44\)
\(=x^2-8x+59\)
\(=x^2-2.x.4+4^2+43\)
\(=\left(x-4\right)^2+43\ge43>0\)
\(\rightarrowĐPCM.\)
2) \(x^2+y^2-8x+4y+31\)
\(=\left(x^2-8x\right)+\left(y^2+4y\right)+31\)
\(=\left(x^2-2.x.4+4^2\right)-16+\left(y^2+2.y.2+2^2\right)-4+31\)
\(=\left(x-4\right)^2+\left(y+2\right)^2+11\ge11>0\)
\(\rightarrowĐPCM.\)
3)\(16x^2+6x+25\)
\(=16\left(x^2+\dfrac{3}{8}x+\dfrac{25}{16}\right)\)
\(=16\left(x^2+2.x.\dfrac{3}{16}+\dfrac{9}{256}-\dfrac{9}{256}+\dfrac{25}{16}\right)\)
\(=16\left[\left(x+\dfrac{3}{16}\right)^2+\dfrac{391}{256}\right]\)
\(=16\left(x+\dfrac{3}{16}\right)^2+\dfrac{391}{16}>0\)
-> ĐPCM.
4) Tương tự câu 3)
5) \(x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{2}\)
\(=x^2+2.x.\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{2}\)
\(=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{7}{18}>0\)
-> ĐPCM.
6) Tương tự câu 5)
7) 8) 9) Tương tự câu 3).
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2019
Bài 1:
Sửa đề: CMR \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
Xét hiệu:
\(x^3+y^3-(x^2y+xy^2)=(x^3-x^2y)-(xy^2-y^3)\)
\(=x^2(x-y)-y^2(x-y)\)
\(=(x^2-y^2)(x-y)=(x+y)(x-y)(x-y)=(x+y)(x-y)^2\)
Vì \(x+y\geq 0, (x-y)^2\geq 0\) với mọi $x,y$ không âm
\(\Rightarrow x^3+y^3-(x^2y+xy^2)=(x-y)^2(x+y)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3\geq x^2y+xy^2\)
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2019
Bài 2:
$111(x-2)$ không nhỏ hơn $1998$, nghĩa là:
\(111(x-2)\geq 1998\)
\(\Leftrightarrow x-2\geq \frac{1998}{111}=18\)
\(\Leftrightarrow x\geq 20\)
Vậy với mọi giá trị $x\in\mathbb{R}$, $x\geq 20$ thì ta có điều cần thỏa mãn.
10 tháng 8 2018
\(B=x^2-x+\dfrac{1}{2}=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}>0\)
10 tháng 8 2018
Câu a : Ta có :
\(B=x^2-x+\dfrac{1}{2}=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}>0\)
Câu b : Ta có :
\(C=\left(2n+1\right)^2-1=\left(2n+1-1\right)\left(2n+1+1\right)=2n\left(2n+2\right)=4n^2+4n=8n\left(\dfrac{1}{2}n+\dfrac{1}{2}\right)\)
Do có thừa số là 8 nên \(8n\left(\dfrac{1}{2}n+\dfrac{1}{2}\right)\) luôn chia hết cho 8
\(\Rightarrow C=\left(2n+1\right)^2-1\) chia hết cho 8 ( đpcm )
BB
1
HY
9 tháng 2 2020
\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\\ \Leftrightarrow2x^2+2x^2+2\ge2xy+2y+2y\\ \Leftrightarrow2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y\ge0\\ \Leftrightarrow x^2+x^2+y^2+y^2+1+1-2xy-2x-2y\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+1\ge xy+x+y\) luôn đúng với mọi x;y
1 tháng 4 2019
1.
Xét hiệu:
\(x^3+y^3-\left(x^2y+xy^2\right)=\left(x^3-x^2y\right)-\left(xy^2+y^3\right)\)
\(=x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\), Với mọi x, y không âm
Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)với mọi x, y không âm
2. \(111\left(x-2\right)\ge1998\Leftrightarrow x-2\ge\frac{1998}{11}\Leftrightarrow x\ge\frac{1998}{11}+2=\frac{2020}{11}\)
3. Xét hiệu:
\(\frac{a-b}{b}-1=\frac{a}{b}-1-1=\frac{a}{b}-2>\frac{2b}{b}-2=2-2=0\)Với mọi , a, b dương
Vậy \(\frac{a-b}{b}>1\)với mọi a, b dương
1 tháng 4 2019
4) xét hiệu:
\(x^2+y^2+z^2+14-\left(4x+2y+6z\right)\ge0\)\
<=> \(x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2-6z+9=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-3\right)^2\ge0\)luôn đúng vs mọi x, y, z
Vậy suy ra điều cần chứng minh
\(x^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+x\ge0+x\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+x+1\ge0+x+1\ge0+1\)
Hay \(x^2+x+1\ge1\) nên luôn dương (đpcm) với mọi x.