Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(0< a;b;c< 1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3< a^2< a< 1\\b^3< b^2< b< 1\\c^3< c^2< c< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b^2\right)>0\Rightarrow1+ab^2>a+b^2>a^3+b^3\)
Tương tự: \(1+b^2c>b^3+c^3\); \(1+ca^2>a^3+c^3\)
Cộng vế với vế: \(3+a^2b+b^2c+c^2a>2a^3+2b^3+2c^3\)
Đẳng thức không xảy ra
Chứng minh rằng: - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán
Lời giải:
Áp dụng bđt AM-GM:
\(a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2\geq 2(ab+b+1)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \frac{1}{2(ab+b+1)}\). Tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow 2\text{VT}\leq \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=A\)
Dựa vào đk \(abc=1\) dễ thấy \(A=1\).
Cách CM:
\(A=\frac{c}{1+bc+c}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{c+1}{bc+c+1}+\frac{bc}{c+1+bc}=1\) (đpcm)
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\((a^2+2c^2)(1+2)\geq (a+2c)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+2c^2}\geq \frac{a+2c}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\geq \frac{a+2c}{\sqrt{3}ac}=\frac{ab+2bc}{\sqrt{3}abc}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\geq \frac{ac+2ab}{\sqrt{3}abc}\\ \frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\geq \frac{bc+2ac}{\sqrt{3}abc}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế các BĐT trên thu được:
\(\text{VT}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{ab+2bc+ac+2ab+bc+2ac}{abc}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3(ab+bc+ac)}{abc}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3abc}{abc}=\sqrt{3}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=3$
Bài 2: Bài này sử dụng pp xác định điểm rơi thôi.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(24a^2+24.(\frac{31}{261})^2\geq 2\sqrt{24^2.(\frac{31}{261})^2a^2}=\frac{496}{87}a\)
\(b^2+(\frac{248}{87})^2\geq 2\sqrt{(\frac{248}{87})^2.b^2}=\frac{496}{87}b\)
\(93c^2+93.(\frac{8}{261})^2\geq 2\sqrt{93^2.(\frac{8}{261})^2c^2}=\frac{496}{87}c\)
Cộng theo vế:
\(B+\frac{248}{29}\geq \frac{496}{87}(a+b+c)=\frac{496}{87}.3=\frac{496}{29}\)
\(\Rightarrow B\geq \frac{496}{29}-\frac{248}{29}=\frac{248}{29}\)
Vậy \(B_{\min}=\frac{248}{29}\). Dấu bằng xảy ra khi: \((a,b,c)=(\frac{31}{261}; \frac{248}{87}; \frac{8}{261})\)
BĐT 1 sai ngay với \(a=\sqrt{0,1},b=\sqrt{0,2},c=\sqrt{2,7}\)
BĐT 2 tương đương với đi chứng minh \(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq 3a^2b^2c^2\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^4b^4+b^4c^4\geq 2a^2b^4c^2\)
Tương tự \(b^4c^4+c^4a^4\geq 2b^2c^4a^2,a^4b^4+c^4a^4\geq 2a^4b^2c^2\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)=3a^2b^2c^2\)
Do đó ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$
thì ra cái đầu sai nghĩ mãi ko ra, đại ca thông minh thật :v
Ta thấy muốn loại bỏ đi mẫu số của \(\frac{a^2}{b+2c}\)thì cần dùng AM-GM cho nó và 1 đại lượng có dạng k(b+2c) (để triệt tiêu đi b+2c). Ngoài ra ta cần chú ý thêm BĐT đã cho có dấu "=" xảy ra <=> a=b=c. Khi ấy \(\frac{a^2}{b+2c}=\frac{b+2c}{9}\)
Do vậy, đánh giá mà ta nên chọn là:
\(\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b+2c}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b+2c}{9}}=\frac{2}{3}a\)
=> \(\frac{a^2}{b+2c}\ge\frac{2}{3}a-\frac{b+2c}{9}=\frac{6a-b-2c}{9}\)
Thực hiện đánh giá tương tự ta cũng có:
\(\frac{b^2}{c+2a}\ge\frac{6b-c-2a}{9};\frac{c^2}{a+2b}\ge\frac{6c-a-2b}{9}\)
Cộng theo vế của 3 BĐT ta được đpcm
Ta có
\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Áp dụng vào tổng ta có
\(\left(a+b-2c\right)^3+\left(b-c-2a\right)^3+\left(c+a-2b\right)^3\)
Đặt
\(M=\left(a+b-2c+b+c-2a+a+c-2b\right)^3\)
=> M=0
\(N=3\left(a+b-2c+b+c-2a\right)\left(b+c-2a+a+c-2b\right)\left(a+c-2b+a+b-2c\right)\)
\(\Rightarrow N=3\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)
Để ý : M+N=B
=> \(B=0+3\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)
=> \(B=3\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)