K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
15 tháng 10 2021
\(A=\dfrac{x-2\sqrt{xy}+y+4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\\ A=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{x}+\sqrt{y}\\ A=\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\sqrt{y}\)
Đề sai
15 tháng 10 2021
\(A=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x}-\sqrt{y}\)
\(=2\sqrt{x}\)
9 tháng 4 2021
a) Ta có: \(A=\dfrac{x-\sqrt{xy}+y}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}+\dfrac{x+\sqrt{xy}+y}{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}\)
\(=\dfrac{x-\sqrt{xy}+y}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}+\dfrac{x+\sqrt{xy}+y}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}}{x-y}\)
19 tháng 6 2016
Dự đoán dấu bằng có khi (x,y,z)(x,y,z) là các hoán vị (0;1;1).
Từ đó ta đánh giá làm mất căn:
Ta có:
\(4\sqrt{2}.\sqrt{\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}}=\frac{8\left(xy+yz+zx\right)}{\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).2\left(xy+yz+zx\right)}}\)\(\ge\frac{16\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Do đó ta chỉ cần có
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{16\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\ge6\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\) suy ra \(x\ge y>0,z\ge0\)
Khi đó, ta chứng minh BĐT mạnh hơn
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{16\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}-\frac{8\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3\left(x+y+2z\right)\ge8\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Hay \(\left(x+y+z\right)^4+z\left(x+y+z\right)^3\ge8z^2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Theo AM-GM:\(\left(x+y+z\right)^4=\left(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right)^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Vậy ta chỉ cần chứng minh \(z\left(x+y+z\right)^3\ge8z^2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(BDT\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge8z\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Ta có:\(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3x\left(y^2+z^2\right)+3y\left(z^2+x^2\right)+3z\left(x^2+y^2\right)+6xyz\ge x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+5xyz+8z^3+3z\left(x^2+y^2\right)\)
Suy ra \(\left(x+y+z\right)^3-8z\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+5xyz-5z\left(x^2+y^2\right)\)
\(=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+5z\left(xy-x^2-y^2\right)\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+5y\left(xy-x^2-y^2\right)\)
\(\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2-5y\left(x^2+y^2\right)\)
\(=\left(x^2-y^2+4\right)\left(x-y\right)\ge0\)
BĐT được chứng minh.
MK
1
30 tháng 8 2019
\(\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2-xy\right)=\left(x+y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)=\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(=x^4+y^4+xy^3+x^3y=x^4+y^4+xyy^2+xyx^2=x^4+y^4+3y^2+3x^2\)
TD
2
10 tháng 10 2019
Đề sai rồi kìa:)
Cho x = - 1; y = -1 có: x.y = 1 và x + y = -2.
x.y > x+y mà x+y =-2 <4.
Nhìn lại đề bài nhé!
10 tháng 10 2019
Vậy hả mình lấy bài trên mạng nên có khi sai. Cảm ơn bạn nhé
LT
1
9 tháng 3 2016
Ta có \(\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)>0\to8-4\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)-xyz>0\)
Suy ra \(2\left(x+y+z\right)-\left(xy+yz+zx\right)<\frac{8-xyz}{2}<4.\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq \frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1^2}=4\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
17 tháng 12 2019
bđt \(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\left(x^2+y^2+\frac{3}{2}xy\right)\ge0\) đúng với mọi x, y
TA
19 tháng 5 2017
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
Lời giải:
Xét hiệu:
$x^4+y^4-xy(x^2+y^2)=(x^4-x^3y)-(xy^3-y^4)=x^3(x-y)-y^3(x-y)$
$=(x-y)(x^3-y^3)=(x-y)(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)^2(x^2+xy+y^2)$
Ta thấy:
$(x-y)^2\geq 0$ với mọi $x,y$
$x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}\geq 0$ với mọi $x,y$
$\Rightarrow x^4+y^4-xy(x^2+y^2)=(x-y)^2(x^2+xy+y^2)\geq 0$
$\Rightarrow xy(x^2+y^2)\leq x^4+y^4$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$.