Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Bình phương 2 vế được: \(\frac{4ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\le\sqrt{ab}\)
<=> \(4ab\le\sqrt{ab}\left(a+b\right)+2ab\)
<=>\(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge2ab\)
<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)
bài 5 nhé:
a) (a+1)2>=4a
<=>a2+2a+1>=4a
<=>a2-2a+1.>=0
<=>(a-1)2>=0 (luôn đúng)
vậy......
b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:
a+1>=\(2\sqrt{a}\)
tương tự ta có:
b+1>=\(2\sqrt{b}\)
c+1>=\(2\sqrt{c}\)
nhân vế với vế ta có:
(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)
<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)
<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)
vậy....
Câu 6:
a: \(\left(a+1\right)^2>=4a\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a+1-4a>=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2>=0\)(luôn đúng)
b: \(\left\{{}\begin{matrix}a+1\ge2\sqrt{a}\\b+1\ge2\sqrt{b}\\c+1\ge2\sqrt{c}\end{matrix}\right.\)(Theo BĐT COSI)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+2\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\)
Ta có : \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}=\sqrt{ab+bc+ac+a^2}+\sqrt{ab+bc+ac+b^2}+\sqrt{ab+bc+ac+c^2}=\sqrt{\left(b+a\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}\)
\(\le\frac{a+c+b+c}{2}+\frac{a+b+b+c}{2}+\frac{a+c+a+b}{2}=2\left(a+b+c\right)\)
( áp dụng BĐT Cô - si cho các số a ; b ; c dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab+bc+ac=1\\a+c=b+c=a+b\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy ...