Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b) \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{a-b}\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-2b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\dfrac{a+\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}+b-2b}{a-b}\)
\(=\dfrac{a}{a-b}\)
a)\(\sqrt{x}+1>\sqrt{x+1}\) (x>0)
Có:\(\left(\sqrt{x}+1\right)^2=x+2\sqrt{x}+1\left(1\right)\) (x>0)
\(\sqrt{\left(x+1\right)^2}=x+1\) (2) (x>0)
từ (1) và (2) =>(đpcm)
b)\(\sqrt{x^2+1}>x\)
Có:\(\sqrt{\left(x^2+1\right)^2}=x^2+1\left(1\right)\)
x2=x2 (2)
Từ (1) và (2) =>(đpcm)
c)\(\frac{1}{2}+a+b\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\left(a,b\ge0\right)\)
Vì a,b >or= 0
=>\(a+b\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}+a+b\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (đáng lẽ 1/2+a+b> mới phải)
1) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b
2) \(\left(\sqrt{2a}-\sqrt{2b}\right)^2\ge0\)
\(2a-4\sqrt{ab}+2b\ge0\)
\(4a+4b\ge2a+2b+4\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)
\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b
a)
\(\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\ne\sqrt{a-\sqrt{b}}\right)^2\)
\(=a+\sqrt{b}\ne2\sqrt{\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right)}+a-\sqrt{b}\)
\(=2a\ne2\sqrt{a^2-b}=2\left(a\ne\sqrt{a^2}-b\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+\sqrt{b}}\ne\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{2\left(a\ne\sqrt{a^2}-b\right)}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
b)
\(\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\ne}\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2\)
\(=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\ne\sqrt[2]{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}.\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\)
\(=\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{a^2-b}}{2}\ne\sqrt[2]{\frac{a^2-a^2+b}{2.2}}+\frac{a}{2}-\frac{\sqrt{a^2-b}}{2}\)
\(=a\ne2\frac{\sqrt{b}}{2}=a\ne\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\ne\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}=\sqrt{a\ne\sqrt{b}}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
PP: Dùng tương đương thần chưởng !!!
Ý tưởng : Chứng minh 1/\sqrt{1+a^2} + 1/\sqrt{1+b^2} >= 2/\sqrt{1+ab} >= 2/\sqrt{ 1+ (a+b)^2/4 }
._. Bạn biết đăng hình ảnh lên đây không mình làm ra rùi chụp cho (:
b a c A B C H
Xét hình sau.
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+b^2}=AB\\\sqrt{b^2+c^2}=BC\end{cases}}\)
Cần chứng minh \(AB.BC\ge BH.AC\)
Ta có: \(BH.AC=2S_{\Delta ABC}=AB.BC.\sin ABC\)
Vậy cần chứng minh \(AB.BC\ge AB.BC.\sin ABC\Leftrightarrow\sin ABC\le1\)
Bất bẳng thức cuối hiển nhiên đúng, nên ta có đpcm.