Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) \(\left(a,b>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+2ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
Vì a,b>0 nên \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)( bất dẳng thức đúng)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu '=' xảy ra khi a=b
bài 2
(bài này là đề thi olympic Toán,Ireland 1997),nhưng cũng dễ thôi
Giả sử ngược lại \(a^2+b^2+c^2< abc\)
khi đó \(abc>a^2+b^2+c^2>a^2\)nên \(a< bc\)
Tương tự \(b< ac,c< ab\)
Từ đó suy ra :\(a+b+c< ab+bc+ac\left(1\right)\)
mặt khác ta lại có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)nên
\(abc>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow abc>ab+ac+bc\left(2\right)\)
Từ (1),(2) ta có\(abc>a+b+c\)(trái với giả thuyết)
Vậy bài toán được chứng minh
3)để đơn giản ta đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\).Khi đó \(x,y,z>0\)
và \(xy+yz+xz\ge1\)
ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng
\(2x+3y+6z\ge6,2y+3z+6x\ge6,2z+3x+6y\ge6\)
Giả sử khẳng định này sai,tức là có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên sai.Không mất tính tổng quát,ta giả sử
\(2x+3y+6z< 6\)và \(2y+3z+6x< 6\)
Cộng hai bất đẳng thức này lại,ta được:\(8x+5y+9z< 12\)
Từ giả thiết \(xy+yz+xz\ge1\Rightarrow x\left(y+z\right)\ge1-yz\)
\(\Rightarrow x\ge\frac{1-yz}{y+z}\)Do đó
\(8\frac{1-yz}{y+z}+5y+9z< 12\Leftrightarrow8\left(1-yz\right)+\left(5y+9z\right)\left(y+z\right)< 12\left(y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow5y^2+6yz+9z^2-12y-12z+8< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+3z-2\right)^2+4\left(y-1\right)^2< 0\)(vô lý)
mâu thuẫn này chứng tỏ khẳng định bài toán đúng.Phép chứng minh hoàn tất.
Bai nay phai co dieu kien a,b >0 nha ban
Ap dung bdt \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}< \frac{1}{4}\) dau nho hon la do gia thiet nha ban
Ap dung bdt Cosi cho 2 so ko am
ta co A= \(ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}>2\sqrt{ab.\frac{1}{16ab}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=2.\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)
Study well
Cho x,y>0 thỏa mãn x3+y3=x−y. Chứng minh: x2+y2<1.
Cho x,y>0x,y>0 thỏa mãn x3+y3=x−y. Chứng minh: x2+y2<1.
.............................
\(\left(\frac{a-4}{a}\right)\left(\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}\right)=\left(\frac{a-4}{a}\right)\left(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)-\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}\right)\)
\(=\left(\frac{a-4}{a}\right)\left(\frac{a-3\sqrt{a}+2-a-3\sqrt{a}-2}{a-4}\right)\)
\(=\frac{-6\sqrt{a}}{a}=\frac{-6}{\sqrt{a}}\)
\(a,b>0\Rightarrow\frac{1}{a};\frac{1}{b}>0\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)
\(1\le a,b,c\le2\)
\(\Rightarrow1-a\le0\Rightarrow c\left(1-a\right)\le0\Rightarrow4+c-ca\le4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{4+c-ca}\ge\frac{1}{4}\)
CM tương tự \(\Rightarrow\frac{1}{4+a-ab}+\frac{1}{4+b-bc}+\frac{1}{4+c-ca}\ge\frac{3}{4}\)
Ta cần CM \(\frac{3}{4}\ge\frac{3}{3+abc}\)
Thật vậy \(a,b,c\ge1\Rightarrow abc\ge1\)\(\Rightarrow3+abc\ge4\Rightarrow\frac{3}{4}\ge\frac{3}{3+abc}\)
Dấu "="xảy ra khi a=b=c=1
a,b > 0
Thực hiện phép biến đổi tương đương ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-2ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)( đúng vì a,b > 0 )
Vậy ta có đpcm . Dấu "=" xảy ra <=> a = b