Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta thấy rằng do a < b nên \(\log_ab>1\)
Khi đó nếu xét cùng cơ số là b thì : \(\log_a\left(\log_ab\right)>\log_b\left(\log_ab\right)>0\)
Ta cũng có \(\log_ca< 1\) do a < c, suy ra \(0>\log_c\left(\log_ca\right)>\log_b\left(\log_ca\right)\)
Từ đó suy ra :
\(\log_a\left(\log_ab\right)+\log_b\left(\log_bc\right)+\log_c\left(\log_ca\right)>\log_b\left(\log_ab.\log_bc.\log_ca\right)=0\)
Vì \(a,b>1\) và \(c\ge0\Rightarrow0< \log_ba\le\log_b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\log_ba}\ge\frac{1}{\log_b\left(a+c\right)}\Leftrightarrow\log_ab\ge\log_{a+c}b\)
\(\Rightarrow\) điều phải chứng minh
Ta có :
\(\log_ab\ge\log_{a+c}\left(b+c\right)\Leftrightarrow\log_ab-1\ge\log_{a+c}\left(b+c\right)-1\)
\(\Leftrightarrow\log_a\frac{b}{a}\ge\log_{a+c}\frac{b+c}{a+c}\)
Với \(1< a\le b\) và \(c\ge0\Rightarrow\frac{b}{a}\ge\frac{b+c}{a+c}\ge1\) nên \(\log_a\frac{b}{a}\ge\log_a\frac{b+c}{a+c}\) (*)
Mặt khác, ta được : \(\log_a\frac{b+c}{a+c}\ge\log_{a+c}\frac{b+c}{a+c}\) (**)
Từ (*) và (**) \(\Rightarrow\log_ab\ge\log_{a+c}\left(b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi c = 0 hoặc a = b
Vì \(a\ge1;b\ge1\) nên \(\ln a;\ln b\) và \(\ln\frac{a+b}{2}\) không âm. Ta có :
* \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\ln\sqrt{ab}\Leftrightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\ln a+\ln b\right)\) (1)
* \(\ln a+\ln b\ge2\sqrt{\ln a.\ln b}\) Áp dụng BĐT Cauchy
\(\Rightarrow2\left(\ln a+\ln b\right)\ge\ln a+\ln b+2\sqrt{\ln a.\ln b}=\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)
hay :
\(\ln a+\ln b\ge\frac{1}{2}\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{4}\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)
hay \(\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}\)
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương, ta có :
\(\log_23+\log_32>2\sqrt{\log_23.\log_32}=2\sqrt{1}=2\)
Không xảy ra dấu "=" vì \(\log_23\ne\log_32\)
Mặt khác, ta lại có :
\(\log_23+\log_32<\frac{5}{2}\Leftrightarrow\log_23+\frac{1}{\log_23}-\frac{5}{2}<0\)
\(\Leftrightarrow2\log^2_23-5\log_23+2<0\)
\(\Leftrightarrow\left(\log_23-1\right)\left(\log_23-2\right)<0\) (*)
Hơn nữa, \(2\log_23>2\log_22>1\) nên \(2\log_23-1>0\)
Mà \(\log_23<\log_24=2\Rightarrow\log_23-2<0\)
Từ đó suy ra (*) luôn đúng. Vậy \(2<\log_23+\log_32<\frac{5}{2}\)
b) Vì \(a,b\ge1\) nên \(\ln a,\ln b,\ln\frac{a+b}{2}\) không âm.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
\(\ln a+\ln b\ge2\sqrt{\ln a.\ln b}\)
Suy ra
\(2\left(\ln a+\ln b\right)\ge\ln a+\ln b+2\sqrt{\ln a\ln b}=\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)
Mặt khác :
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\ln a+\ln b\right)\)
Từ đó ta thu được :
\(\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{4}\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)
hay \(\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}\)
c) Ta chứng minh bài toán tổng quát :
\(\log_n\left(n+1\right)>\log_{n+1}\left(n+2\right)\) với mọi n >1
Thật vậy,
\(\left(n+1\right)^2=n\left(n+2\right)+1>n\left(n+2\right)>1\)
suy ra :
\(\log_{\left(n+1\right)^2}n\left(n+2\right)<1\Leftrightarrow\frac{1}{2}\log_{n+1}n\left(n+2\right)<1\)
\(\Leftrightarrow\log_{n+1}n+\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)<2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(2>\log_{\left(n+1\right)}n+\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)>2\sqrt{\log_{\left(n+1\right)}n.\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)}\)
Do đó ta có :
\(1>\log_{\left(n+1\right)}n.\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)\) và \(\log_n\left(n+1>\right)\log_{\left(n+1\right)}\left(n+2\right)\) với mọi n>1
Lần sau em đăng trong h.vn
1. \(log_{ab}c=\frac{1}{log_cab}=\frac{1}{log_ca+log_cb}=\frac{1}{\frac{1}{log_ac}+\frac{1}{log_bc}}=\frac{1}{\frac{log_ac+log_bc}{log_ac.log_bc}}=\frac{log_ac.log_bc}{log_ac+log_bc}\)
Đáp án B:
2. \(f'\left(x\right)=-4x^3+8x\)
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow-4x^3+8x=0\Leftrightarrow x=0,x=\sqrt{2},x=-\sqrt{2}\)
Có BBT:
x -căn2 0 căn2 f' f 0 0 0 - + - +
Nhìn vào bảng biên thiên ta có hàm số ... là đáp án C
Cho \(\log_ab=3;\log_ac=-2\)
1. Với \(x=a^3b^2\sqrt{c}\Rightarrow\log_ax=\log_a\left(a^3b^2\sqrt{c}\right)=\log_aa^3+\log_ab^2+\log_ac^{\frac{1}{2}}\)
\(=3+2.3+\frac{1}{2}\left(-2\right)=8\)
2. Với \(x=\frac{a^4\sqrt[3]{b}}{c^3}\) \(\Rightarrow\log_a\frac{a^4\sqrt[3]{b}}{c^2}=\log_aa^4+\log_ab^{\frac{1}{3}}+\log_ac^3\)
\(=4+\frac{1}{3}\log_ab+3\log_ac=4+\frac{1}{3}.3+3\left(-2\right)=-1\)
3. Với \(x=\log_a\frac{a^2\sqrt[3]{b}c}{\sqrt[3]{a\sqrt{c}}b^3}\Rightarrow\log_a\frac{a^2b^{\frac{1}{3}}c}{a^{\frac{1}{3}}b^3c^{\frac{1}{6}}}=\log_a\frac{a^{\frac{5}{3}}c^{\frac{5}{6}}}{b^{\frac{8}{3}}}=\log_aa^{\frac{5}{3}}-\log_ab^{\frac{8}{3}}+\log_ac^{\frac{3}{2}}\)
\(=\frac{5}{3}-\frac{8}{3}\log_ab+\frac{5}{6}\log_ac=\frac{5}{3}-\frac{8}{3}3+\frac{5}{6}\left(-2\right)=-8\)
Ta có :
\(a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\Rightarrow a^{\log_bc}+c^{\log_ab}=c^{\log_ba}+c^{\log_ab}\ge2\sqrt{c^{\log_ba}.c^{\log_ab}}=2\sqrt{c^{\log_ba+\log_ab}}\) (1)
Vì \(a,b>1\) nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm \(\log_ba\) và \(\log_ab\), ta được :
\(\log_ab+\log_ba\ge2\sqrt{\log_ab.\log_ba}=2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^{\log_bc}+b^{\log_ab}\ge2\sqrt{c^2}=2c\)
hay \(\Rightarrow a^{\log_bc}+c^{\log_ab}\ge2c\)
Chứng minh tương tự ta được :
\(a^{\log_bc}+b^{\log_ca}\ge2a\)
\(b^{\log_ca}+c^{\log_ab}\ge2b\)
\(\Rightarrow2\left(a^{\log_bc}+b^{\log_ca}+c^{\log_ab}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
hay :
\(a^{\log_bc}+b^{\log_ca}+c^{\log_ab}\ge a+b+c\) (*)
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có : \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (2*)
Từ (*) và (2*) ta có :
\(a^{\log_bc}+b^{\log_ca}+c^{\log_ab}\ge3\sqrt[3]{abc}\)