NN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
10 tháng 2 2020
Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow a^6+a^5b+ab^5+b^6\ge a^6+a^4b^2+a^2b^4+b^6\)
\(\Leftrightarrow a^5b-a^4b^2-a^2b^4+ab^5\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4b\left(a-b\right)-ab^4\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
TQ
1
VN
27 tháng 4 2017
ta có: (a-b)2 \(\ge\) 0
=> a2 + b2 - 2ab \(\ge\) 0
=> a2 +b2 - ab \(\ge\) 0
=> a2 +b2 \(\ge\) ab
=> (a+ b)(a2 +b2 - ab) \(\le\) ab(a+b) (vì a\(\le0;\) b\(\le0\) nên a+b \(\le\)0)
=> a3 + b3 \(\le\) ab(a+b)
=>đpcm.
30 tháng 12 2022
3: =>a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2>=a^2c^2+2abcd+b^2d^2
=>a^2d^2-2abcd+b^2c^2>=0
=>(ad-bc)^2>=0(luôn đúng)
PT
1
21 tháng 10 2017
\(BDT\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\right]\ge0\) *đúng*
Khi \(a=b\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 12 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5})^2\leq (a^2+b^2+c^2)(1+3+5)\)
\(\Leftrightarrow (a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5})^2\leq 9\Rightarrow a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}\leq 3\)
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{1}=\frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{c}{\sqrt{5}}\) hay \(a=\frac{1}{3}; b=\sqrt{\frac{1}{3}}; c=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
N
10 tháng 8 2017
\(BĐT\Leftrightarrow\sum\dfrac{2bc}{1+a^2}\le\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\sum\dfrac{-2bc}{2a^2+b^2+c^2}\ge-\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{2a^2+\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{3}{2}\)
ÁP dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\sum\dfrac{2a^2}{2a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
và \(\sum\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}=\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}+\dfrac{\left(a-c\right)^2}{2b^2+a^2+c^2}\ge\dfrac{4\left(a-c\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{\left(a-c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\)
( Lưu ý : \(\left(c-a\right)^2=\left(a-c\right)^2\)) (1)
Do vậy cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+2\left(a-c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)^2+4\left(a-c\right)^2\ge6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc-ac-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) (*)
(*) không phải luôn đúng, tuy nhiên ta có thể ép cho nó đúng .
bằng cách đáng giá tương tự BĐT (1) :
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left(b-a\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2b^2+a^2+c^2}\ge\dfrac{\left(b-a\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\\\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}+\dfrac{\left(c-b\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2b^2+a^2+c^2}\ge\dfrac{\left(c-b\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\end{matrix}\right.\)
ta thu được BĐT cần chứng minh tương đương \(\left\{{}\begin{matrix}\left(b-c\right)\left(c-a\right)\ge0\left(3\right)\\\left(c-a\right)\left(a-b\right)\ge0\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Dễ thấy \(\left(a-b\right)\left(b-c\right).\left(b-c\right)\left(c-a\right).\left(c-a\right)\left(a-b\right)=\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2\ge0\)
tích của chúng là 1 số không âm nên có ít nhất 1 số không âm .Chứng tỏ có ít nhất 1 BĐT đúng
Do đó ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow a^{10}+a^4b^6+a^6b^4+b^{10}\le2a^{10}+2b^{10}\)
\(\Leftrightarrow a^{10}+b^{10}-a^4b^6-a^6b^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^6\left(a^4-b^4\right)-b^6\left(a^4-b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-b^4\right)\left(a^6-b^6\right)\ge0\) (lđ)
Bởi 2 cái ngoặc kia luôn cùng âm hoặc cùng dương