Question

[Đõ Phương Thảo]

chứng minh : a)\(1< \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2.\)2 với a,b,c >0

Answer 1

[tth_new]

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)  (1)

Mặt khác,ta sẽ c/m bổ đề: Với x<y thì \(\frac{x}{y}< \frac{x+m}{y+m}\) (m>0)

\(\Leftrightarrow x\left(y+m\right)< y\left(x+m\right)\)

\(\Leftrightarrow xy+xm< xy+ym\)

\(\Leftrightarrow xm< ym\Leftrightarrow x< y\) "đúng"

Áp dụng vào,ta có: \(\frac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\)

Chứng minh tương tự và cộng theo vế: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.