Question

[Nguyen van tèo]

Cho a, b, c là các số thực sao cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Chứng minh rằng a = b = c hoặc a + b + c = 0

Answer 1

[Phạm Trần Hoàng Anh]

`a^3 + b^3 + c^3 = 3abc`

`=> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0`

`=> (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc = 0`

`=> ((a+b)^3  + c^3) - (3ab(a+b) + 3abc) = 0`

`=> (a+b+c) ((a+b)^2 - (a+b)c + c^2) - 3ab(a+b+c) = 0`

`=> (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2) - 3ab(a+b+c) = 0`

`=> (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab) = 0`

`=> (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac - bc + c^2) = 0`

Trường hợp 1: 

`a+b+c = 0 (đpcm)`

Trường hợp 2: 

`a^2 - ab + b^2 + ac + bc + c^2 = 0`

`<=> 2a^2 - 2ab + 2b^2 - 2bc +2c^2 - 2ca = 0`

`<=> a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc +c^2 + c^2 - 2ac + a^2 = 0`

`<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0`

Do `{((a-b)^2 >=0),((b-c)^2 >=0),((c-a)^2 >=0):}`

`=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 >= 0`

Dấu = có khi: 

`{(a=b),(b=c),(c=a):}`

Hay `a=b=c  (đpcm)`

Answer 2

[nguyễn vũ ngọc hak]

Ta có :a^3+b^3+c^3=3abc⇒a^3+b^3+c^3-3abc=0

⇒(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0

TH1: a+b+c=0

TH2:a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0

⇒2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0

⇒a=b=c